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Aufgabe

Berechnen Sie die Anzahl der zu 3375 kleineren ,teilerfremdem und natürlichen Zahle


Problem/Ansatz:

wie sollte ich das lösen

von

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3375

=3*1125=3*5*5*45=3*3*3*5*5*5=3^3*5^3

Jetzt könntest du herausfinden, wie viele Zahlen gemeinsame Teiler mit 3375 haben und die Zahl von 3375 subtrahieren.

Durch 3 teilbar sind 1125 Zahlen.

Durch 5 teilbar sind 675 Zahlen.

Durch 15 teilbar sind 225 Zahlen, die doppelt gezählt werden.

3375-1125-675+225=1800

:-)

PS:

Mit Wolframalpha erhalte ich ebenfalls phi(3375)=1800.

Dabei ist phi die Eulersche Phi-Funktion.

von 13 k

ist zwei die Lösung

1800

.............

:-)

Wo haben Sie 625,225 genommen

@Warren

675*5= 3375

Es gibt also 675 Zahlen, die durch 5 teilbar sind

1125 *3 = 3375

225* 15= 3375

225 Zahlen sind sowohl durch 3, als auch durch 5 teilbar, wurden dann also wie MontyPhyton schrieb doppelt gezählt, so dass am Ende diese 225 wieder dazu gezählt werden mussten, um den Fehler zu beheben.

Ich finde jetzt, nach dem MontyPhyton es erklärt hat, alles ganz logisch. Bin aber selbst nicht darauf gekommen.

@MontyPhyton

Gratulation!

:-)

hi Hogar

warum könnten wir nicht 9*375 =3375 SCHREIBEN

Hallo Warten,

Schreiben können wir vieles, dich sas hilft uns nicht wirklich weiter.

Durch die Primfaktorzerlegung, hat MontyPhyton gezeigt, dass 3375 in die Primfaktoren 3 und 5 zerlegt werden kann, wie oft, das spielt bei der weiteren Überlegung keine Rolle, wichtig, ist nur, dass es keine anderen Primzahlen gibt. Dann hat er 3375 durch diese beiden Zahlen geteilt und weiß jetzt, wieviel Zahlen durch 3 und durch 5 geteilt werden können. Doch davon darf er noch nicht die Summe bilden, um zu sehen, wieviel Teiler 3375 hat, denn die Vielfachen von 15 sind ja sowohl bei der einen als auch bei der Anderen Division dabei, darum hat er  auch noch 3375 durch 15 geteilt.und diese von der Summe abgezogen. Dann hat er diesen Betrag von 3375 subtrahiert.

Doch bei der Gelegenheit frage ich mich, ob MontyPhyton nicht einen Teiler vergessen hat.

Ist die 1 nicht auch Teiler von 3375, doch dann gibt es ja keine teilerfremden Zahlen, doch wenn wir die 1 nicht berücksichtigen, warum dürfen wir sie dann bei den 3375 mit einschließen? Warum gehen wir dann nicht von 3374 Zahlen aus?

Das ist jetzt die Frage, sind es 1799 oder doch 1800.

hi Monthy mit 5775 wie viel haben wir

5775 Primfaktoren 3; 5; 5;7;11

Mit MontyPhyton s Verfahren wird es umständlich, doch Wolfram sagt

Euler phi(5775)=2400

Hallo Hogar,

ich musste auch erst nachschlagen, wie die 1 berücksichtigt wird. Da sie Teiler jeder natürlichen Zahl ist, wird sie beim Begriff teilerfremd ausgeschlossen.

Auf die Phi-Funktion bin ich auch erst durch den Wikipedia-Artikel gestoßen.

:-)

Zur Berechnung:

Die Zahl wird multipliziert mit (1+1/Primfaktor), wobei das mit jedem Primfaktor genau einmal gemacht wird.

phi(3375)

=3375*(1-1/3)*(1-1/5)

=3375*2/3*4/5

=1800

Demnach

phi(5775)

=5775*2/3*4/5*6/7*10/11

=2400

Euler Phi (5775) = 2400 =

5775*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)

Die Alternative ist Wolfram fragen oder selber rechnen.

Ich habe die Formel bei Wikipedia (Eulersche Funktion) gefunden. Damit ist die Berechnung sogar für Sechstklässler möglich.

:-)

Ich hatte da auch nachgeschaut, doch die umständliche Variante gewählt. Das mit den Sechstklässlern würde ich nicht unterschreiben. Die meisten bei uns sind total verwirrt, wenn sie Buchstaben statt Zahlen sehe. Nach der Übersetzung können viele es dann aber doch.

Ich habe einige Sechstklässler unterrichtet, die sich gelangweilt haben, weil die meisten nur langsam oder gar nicht verstanden haben.

Für solche Schülerinnen und Schüler dürfte das eine interessante Knobelaufgabe sein.

:-)

Gut, dann aber mit 35 beginnen und bis 100 steigern. Dann finden Sie das Euler phi vielleicht ohne Formel, wenn dann aber Buchstaben dazu kommen machen viele zu. Bei uns fangen sie an mit Buchstaben zu rechnen, wenn die Umfänge und Flächen von Rechtecken und Quadraten bestimmt werden, doch wie gesagt, diese Arbeiten fallen ganz schlecht aus.

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