Hallo,
Geben Sie die Rechenvorschriften für z#y an, die nur die Grundrechenarten beinhalten darf.
wenn $$x\, \# \, y = \frac 12(x+y)$$das arithmetische Mittel ist, ...
Zeigen Sie dass die Gleichung für beliebige rationale Zahlen a b c durch diese Rechenvorschrift tatsächlich erfüllt
... dann geht es auf$$\begin{aligned} a + (b\,\#\, c)&= (a\,\#\, b) + (a\,\#\, c) \\&= \frac 12(a+b) + \frac 12(a+c) \\ &= a + \frac 12 (b+c) \end{aligned}$$
Nachtrag:
wie kommt man darauf? $$a + (b\,\#\, c)= (a\,\#\, b) + (a\,\#\, c) = (a\,\#\, c) + (a\,\#\, b) = a + (c\,\#\, b)$$D.h. die Operation ist kommutativ. In \(x\,\#\,y\) können \(x\) und \(y\) vertauscht werden ohne das sich das Ergebnis ändert. Weiter ist $$a + (b\,\#\, b)= 2(a\,\#\, b)$$Erhöhe ich in dieser Gleichung \(a\) um \(1\), so muss der Ausdruck \(a\,\#\,b\) um \(1/2\) anwachsen. D.h. \(a\) geht mit einem Faktor von \(1/2\) ein. Wegen der Vertauschbarkeit muss das auch für den zweiten Parameter gelten - also \(x\,\#\,y = (x+y)/2\)
