Zeigen Sie, dass die Gleichung (1) für beliebige rationale Zahlen a, b, c durch diese

Question

Max hat eine Rechenvorschrift festgelegt, durch die je zwei rationalen Zahlen x und y eine rationale Zahl z zugeordnet wird. Er schreibt dafür z = x # y. (Die Zahl z wird also mit Hilfe einer Formel aus x und y berechnet.)

Anschließend stellt er fest, dass für beliebige rationale Zahlen a, b, c die Gleichung
a + (b # c) = (a # b) + (a # c) (1)
gilt.
a) Geben Sie eine Rechenvorschrift für x # y an, die nur die vier Grundrechenarten +, −, ·, :
als Rechenarten verwendet, so dass (1) erfüllt ist.
Zeigen Sie, dass die Gleichung (1) für beliebige rationale Zahlen a, b, c durch diese
Rechenvorschrift tatsächlich erfüllt wird.

b) Zeigen Sie: Wenn für beliebige rationale Zahlen a, b, c die Gleichung (1) gilt, dann gilt
für die Rechenvorschrift von # die Formel aus a).

Problem/Ansatz:

… Kann mir bitte jemand erklären, wie ich Aufgabenteil b) beantworten soll bzw. was damit gemeint ist?

Comments

Hallo

hast du denn die Rechenvorschrift raus?

dann musst du in b) zeigen dass  wenn die Gleichung 1  gilt, folgt  die Formel für #

Gruß lul

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A)

Rechenvorschrift: x # y =  (x+y) / 2

Hi,

ja ich habe a) schon (hoffentlich) erfolgreich gemeistert, aber bei b) verstehe ich nicht ganz fast mit # gemeint ist.

Gruß Peter

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@jc2144: das ist kein Duplikat. Hier wird nach dem Aufgabenteil b) gefragt, der in der Frage vom 30.Sep. gar nicht erwähnt wird.

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Hallo,

Komische zwei Fragen nur was bedeutet "#" eigentlich in der Aufgabe und wie kommt man auf die Rechenvorschrift?

Gruß Artix

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was bedeutet "#" eigentlich in der Aufgabe

Das ist nur ein Platzhalter für eine Operation bzw. eine Funktion. Man könnte für $(x \# y)$ auch $f(x,y)$ schreiben - also Funktion von $x$ und $y$. Mit der Einschränkung, dass in $f(x,y)$ nur die Grundrechenarten erlaubt sind.

wie kommt man auf die Rechenvorschrift

steht unten in meiner Antwort. Oder hier im Nachtrag.

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass die Gleichung (1) für beliebige rationale Zahlen a, b, c durch diese Rechenvorschrift tatsächlich …

Stichworte: rationale-zahlen,mengen

Max hat eine Rechenvorschrift festgelegt, durch die je zwei rationalen Zahlen x und y eine rationale Zahl z zugeordnet wird. Er schreibt dafür z = x # y. (Die Zahl z wird also mit Hilfe einer Formel aus x und y berechnet.)
Anschließend stellt er fest, dass für beliebige rationale Zahlen a, b, c die Gleichung
a + (b # c) = (a # b) + (a # c) (1)
gilt.
a) Geben Sie eine Rechenvorschrift für x # y an, die nur die vier Grundrechenarten +, −, ·, : als Rechenarten verwendet, so dass (1) erfüllt ist.
Zeigen Sie, dass die Gleichung (1) für beliebige rationale Zahlen a, b, c durch diese Rechenvorschrift tatsächlich erfüllt wird.
b) Zeigen Sie: Wenn für beliebige rationale Zahlen a, b, c die Gleichung (1) gilt, dann gilt für die Rechenvorschrift von # die Formel aus a).
Hinweis: Es müssen nicht alle vier Grundrechenarten in der Rechenvorschrift vorkommen. Ein Beispiel für eine Rechenvorschrift ist x # y = 3 · (x : y + 2020). Es ist aber nicht die gesuchte Rechenvorschrift bzw. Formel.…

Answer 1

Hallo Peter,

a) Zeigen Sie, dass die Gleichung (1) für beliebige rationale Zahlen a, b, c durch diese
Rechenvorschrift tatsächlich erfüllt wird.

.. ok - das ist einfach, wenn man $x \# y = \frac 12 (x+y)$ kennt. So setzt man das in die Rechenvorschrift ein und kann die Gleichheit feststellen.

b) Zeigen Sie: Wenn für beliebige rationale Zahlen a, b, c die Gleichung (1) gilt, dann gilt
für die Rechenvorschrift von # die Formel aus a).

Umgekehrt ist es schwieriger ... zunächst stelle ich fest, dass die Operation kommutativ ist. Wenn $$a + (b\,\#\, c)= (a\,\#\, b) + (a\,\#\, c)$$ dann muss auch gelten$$\begin{aligned} a + (b\,\#\, c) &= (a\,\#\, b) + (a\,\#\, c) \\ &= (a\,\#\, c) + (a\,\#\, b) \\&= a + (c\,\#\, b) \\ \implies b\,\#\, c &= c\,\#\, b \end{aligned}$$Im nächsten Schritt betrachte ich zwei Gleichungen ... $$\begin{aligned} a + (b\,\#\, c) &= (a\,\#\, b) + (a\,\#\, c) \\ b + (a\,\#\, c) &= (b\,\#\, a) + (b\,\#\, c) \end{aligned}$$und addiere die beiden Gleichungen; mit dem Ziel, alle Terme mit $c$ zu eliminieren $$\begin{aligned} a + (b\,\#\, c) + b + (a\,\#\, c) &= (a\,\#\, b) + (a\,\#\, c) + (b\,\#\, a) + (b\,\#\, c) \quad &&|\, - (b\,\#\, c)\\ a + b + (a\,\#\, c) &= (a\,\#\, b) + (a\,\#\, c) + (b\,\#\, a) &&|\, - (a\,\#\, c) \\ a + b &= (a\,\#\, b) + (b\,\#\, a) \\ a + b &= 2(a\,\#\, b) \\ \frac12( a + b) &= a\,\#\, b \end{aligned}$$

Comments

Vielen Dank Werner-Salomon für die ausführliche Antwort. Jetzt habe ich es verstanden.

Answer 2

Bei b) sollst du zeigen, dass die Rechenvorschrift a#b = (a+b)/2 die einzige ist, die man aus , −, ·, : bauen kann, so dass die Gleichung

          a + (b # c) = (a # b) + (a # c)

für alle a,b,c ∈ ℚ erfüllt ist.

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Vielen Dank!