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Hallo :) Wie bestimme ich die Tangente an den Graphen von f im Punkt P P(x0|f (x0))?
A) f (x)=x^4 & x0=0.5
B) f (x)=2x^-2 & x0=3
C) f (x)=2x^3 -3x^2 & x0=0.5
D) f (x)=x1/x-x^3/2 & x0=5
Danke :)
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A) f (x)=x4 & x0=0.5

Ich mache das hier mal nur für A vor, weil das vorgehen immer das Gleiche ist.

Du bestimmst die Ableitung der Funktion

f'(x) = 4x^3

Für x0 = 0.5 bestimmst du

f(x0) = f(0.5) = 0.0625

f'(x0) = f'(0.5) = 0.5

Dann stellst du die Tangentengleichung auf

t(x) = f'(x0) * (x - x0) + f(x0) = 0.5 * (x - 0.5) + 0.0625

Fertig. Probier das jetzt mal für die anderen Funktionen alleine.

 

B) f (x)=2x^-2 & x0=3

C) f (x)=2x3 -3x2 & x0=0.5

D) f (x)=x1/x-x3/2 & x0=5

Avatar von 484 k 🚀
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zunächst erinnert man sich an die allgemeine Geradengleichung

y = mx + b

wobei m die Steigung ist und b der y-Achsenabschnitt

Dies wird jetzt leicht modifiziert in

t(x) = f'(x0) * (x - x0) + f(x0)

denn die Tangente an f(x) hat an der Stelle x0 den gleichen Anstieg und den gleichen Funktionswert wie f(x) selbst.

Dann setzt man nur noch ein:

 

A)

f(x) = x4 ; x0 = 0,5

f'(x) = 4x3 ; f'(0,5) = 0,5 ; f(0,5) = 0,0625

t(x) = 0,5 * (x - 0,5) + 0,0625

 

B)

f(x) = 2x-2 ; x0 = 3

f'(x) = -4x-3 ; f'(3) = -4/27 ; f(3) = 2/9

t(x) = -4/27 * (x - 3) + 2/9

 

Die anderen analog :-)

 

Besten Gruß

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Danke erstmal! Die ersten beiden habe ich genauso und bei C) habe ich t (x)=-1.5*(x-0.5)-0.5. D) verstehe ich jedoch schon wieder nicht, da ich nicht mit dem 1/x am Anfang umzugehen weiß. Lg!
Gern geschehen :-)

Bin gerade erst wieder zu Hause angekommen, ich schaue mir die anderen Teilaufgaben im Laufe des Abends noch an und poste die Lösungen als weiteren Kommentar!

 

hier der Rest vom Schützenfest :-D

 

C) f(x)=2x3 - 3x2 ; x0=0,5

f'(x) = 6x2 - 6x ; f'(0,5) = 1,5 - 3 = -1,5

f(0,5) = -0,5

Damit ist

t(x) = -1,5 * (x - 0,5) - 0,5 - genauso, wie Du es berechnet hast, prima!!

 

D) f(x) = 1/x - x3/2 ; x0=5

Meinst Du diese Funktion?

Damit verfahren wir wie gehabt, nachdem wir sie umformuliert haben in 

f(x) = x-1 - x3/2 {denn 1/x = x-1}

f'(x) = -x-2 - 3x2/2

f'(5) = -5-2 - 75/2 = - 1/25 - 75/2 = -37,54

f(5) = -62,3

t(x) = -37,54 * (x - 5) - 62,3

Das sieht dann in etwa so aus (Achtung: x- und y-Achse in dieser Skizze unterschiedlich skaliert):

Besten Gruß

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