Question

Zeigen Sie: Das homogene Gleichungssystem

2x₁ + 5x₂ - 3x₃ = 0

4x₁ - 4x₂ + x₃ = 0

4x₁    - 2x₃  = 0

besitzt unendlich viele Lösungen

Answer 1

2·x + 5·y - 3·z = 0
4·x - 4·y + z = 0
4·x - 2·z = 0

5*II + 4*I ; III

28·x - 7·z = 0
4·x - 2·z = 0

Die Gleichungen sind nicht linear abhängig und damit gibt es nur genau eine Lösung. Die Triviallösung x = y = z = 0

Sehr merkwürdig, weil wenn man etwas zeigen dass dann ist das eigentlich auch so. hier offensichtlich nicht, solange du kein Übertragungsfehler gemacht hast.

Aber auch Dozenten könnten sich mal irren.

Comments

Sry....

Zeigen Sie: Das homogene Gleichungssystem

2x1 + 5x2 - 3x3 = 0

4x1 - 4x2 + x3 = 0

4x1    - 2x2  = 0

---

2·x + 5·y - 3·z = 0
4·x - 4·y + z = 0
4·x - 2·y = 0

3*II + I ; III

14·x - 7·y = 0
4·x - 2·y = 0

Diese Zeilen sind linear abhängig und daher kann man eine Streichen und bekommt so ein Freiheitsgrad.

Answer 2

Aloha :)

$$\begin{array}{r}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Aktion}\\\hline 2 & 5 & -3 & 0 & \\4 & -4 & 1 & -2 & -2\cdot\text{Zeile 1}\\ 4 & -2 & 0 & 0 & -2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline2 & 5 & -3 & 0\\0 & -14 & 7 & 0 & \div (-14)\\0 & -12 & 6 & 0 &\div(-12)\\\hline2 & 5 & -3 & 0 & -6\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 1 & -\frac{1}{2} & 0 & \cdot2 \\0 & 1 & -\frac{1}{2} & 0 &-\text{Zeile 2}\\\hline2 & -1 & 0 & 0 & \\0 & 2 & -1 & 0 &\\0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline\end{array}$$Wir haben für 3 Unbekannte $x_1,x_2,x_3$ nur noch 2 Bedingungsgleichungen übrig:$$2x_1-x_2=0\quad\Rightarrow\quad x_2=2x_1$$$$2x_2-x_3=0\quad\Rightarrow\quad x_3=2x_2=2\cdot2x_1=4x_1$$Wir können daher eine der Unbekannten, etwa $x_1$ frei wählen und die beiden anderen aus der gewählten bestimmen. Damit können wir alle Lösungen angeben:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\2x_1\\4x_1\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}\quad;\quad x_1\in\mathbb R\text{ beliebig}$$

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Sry....





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2x1 + 5x2 - 3x3 = 0

4x1 - 4x2 + x3 = 0

4x1    - 2x2  = 0

---

Ich habe meine Antwort nach deiner Richtigstellung nochmal angepasst. Jetzt gibt es tatsächlich unendlich viele Lösungen ;)