Integration durch Substitution bei ex^2

Question

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe zur Integration durch Substitution:

Berechnen Sie die folgende Integrale:

a) $$\int \limits_{a}^{b} xe^{x^{2}} dx$$

Ich habe mir folgendes überlegt:

da e mit x² verkettet ist, kann ich x² mit u substituieren: u := x².

Wenn ich das ableite, ergibt das du = 2x dx, und das wiederum ist dx = du/2x.

Setze ich das nun allerdings wieder in das Integral ein, ergibt das $$\int \limits_{a}^{b} xe^{u} \frac{du}{2x}$$.

Allerdings lässt sich das nicht weiter vereinfachen, und laut der Lösung ist die Lösung einfach $$\frac{1}{2}e^{x^{2}}$$, aber warum?

Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.

Answer 1

Bitte stelle mal die original Aufgabe hier rein.

Das Integral

∫ (a bis b) e^(x²) dx ist bestimmt nicht 1/2·e^(x²)

Es lässt sich auch nicht so einfach eine Stammfunktion finden.

Comments

Entschuldigung, ich hatte das „x“ vor dem e vergessen.

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∫ x·e^(x²) dx

Substitution geht

u = x²
1 du = 2x dx -->  dx = 1/(2x) du

= ∫ x·e^(u) 1/(2x) du

x kürzen und 1/2 nach vorne ziehen

= ∫ 1/2·e^(u) du

= 1/2·e^(u) + C

Resubstitution

= 1/2·e^(x²) + C

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Vielen Dank!

Answer 2

Integration durch Substitution (ersetzen) F(x)=∫f(z)*dz*1/z´

F(x)=∫x*e^(x²)*dx Substitution z=x² abgeleitet z´=dz/dx=2*x → dx=dz*1/(2*x)

F(x)=∫x/(2*x)*e^(z)*dz=1/2*∫e^(z)*dz das übriggebliebene x hebt sich hier auf x/x=1  und Konstanten können vor das Integralzeichen gezogen werden.

F(x)=1/2*e^(x²)+C

A=obere Grenze minus untere Grenze xo=b und xu=a

A=F(xo)-F(xu)=(1/2*e^(b²)) - (1/2*e^(a²))=1/2*(e^(b²)-e^(a²))

Hinweis:funktioniert nur

1) z´=dz/dx=konstant   kann vor das Integralzeichen gezogen werden

2) wenn sich das übriggebliebene x aufhebt (x/x=1)

Answer 3

Wenn die Lösung angegeben oder geraten wurde, ist die Ableitung doch ganz einfach mit der Kettenregel zu machen. Da passt doch alles zusamnen.