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Aufgabe: Die Ebene E ist parallel zur x1-x3-Ebene und der Punkt P(11/21/32) liegt in der Ebene E. Bestimme die Koordinatengleichung.

Problem/Ansatz: kann mir bitte die Vorgehensweise erklären ?

Danke im Voraus !

LG

Lina

vor von

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Beste Antwort

Wenn die Ebene \( \text{E} \) parallel zur \( x_1 / x_3 \) Ebene liegt, dann liegt der Vektor \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\-1\\0 \end{pmatrix}  \) senkrecht zu dieser Ebene.

Da der Punkt \( x_0 = \text{P} \) in der Ebene liegt, lautet die Ebenengleichung

$$ \vec{n} ( \vec{x}- \vec{x_0}) = 21 - y = 0 $$

vor von 30 k

Ist die -1 nicht ein faktor, den man ausmultiplizieren kann, dass y= -21 rauskommt ?

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Aloha :)

Da die Ebene parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene verläuft, steht der Vektor \((0;1;0)\) auf dieser Ebene senkrecht, ist also ein Normalenvektor der Ebene:$$\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}11\\21\\32\end{pmatrix}$$$$x_2=21$$Das Ergebnis ist auch einleichtend. Da die Ebene parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene verläuft, darf sich die \(x_2\)-Koordinate der Punkte nicht ändern, muss also konstant sein. Der gegebene Punkt hat die \(x_2\)-Koordinate \(21\). Daher kann man die Ebenengleichung \(x_2=21\) auch ohne Normalenvektor herleiten.

vor von 44 k

Könnte man also nicht [1,0,0] x [0,0,1] rechnen, dass der normalenvektor [0,-1,0] rauskommt ?

Doch kann man, wenn man die Aufgabe maximal kompliziert machen möchte ;)

Achso aber dann müsste man -1 ausmultiplizieren, damit das gleiche rauskommt oder nicht ?

Es gibt ja unendlich viele Vektoren, die auf einer Ebene senktrecht stehen. Hier sind es alle Vielfachen des Vektors \((0;1;0)\), also auch \((0;-1;0)\). Der Unterschied ist, dass \((0;1;0)\) nach oben zeigt und \((0;-1;0)\) nach unten. In der Rechnung ergibt sich aber in beiden Fällen dieselbe Ebenengleichung: \(x_2=21\).

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Der Normalenvektor der x1x3-Ebene ist [0, 1, 0]

Daher:

E: X·[0, 1, 0] = [11, 21, 32]·[0, 1, 0]
E: y = 21

vor von 354 k 🚀

Aber es ist doch die x1-x3-Ebene?

Stimmt. War aber nur ein Tippfehler. Wie du vielleicht erkannt hast habe ich ja mit dem richtigen Normalenvektor gerechnet. Ich habe den Tippfehler aber verbessert.

Okay dankeschön, also ist der normalenvektor der Ebene einfach der Normalenvektor von der x1-x3- Ebene ?

Genau. Parallele Ebenen haben Normalenvektoren dir nur vielfache voneinander sind.

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