Zeige, dass x=1 eine Nullstelle von fk(x) ist und bestimmen sie die Zahlen k, für die x=1 auch die einzige …

Question

Aufgabe:

f_k(x)= x³+x²(k-1)-k

1.Berechnen das Volumen des Körper, der durch die Rotation um die x- Achse entsteht, wobei der Graph von f₀(x) und die Geraden x=-1 und x=0  mit der x-Achse eine Fläche einschließen.

2. Zeige, dass x=1 eine Nullstelle von f_k(x) ist und bestimmen sie die Zahlen k, für die x=1 auch die einzige Nullstelle der Funktionsschar ist.

Answer 1

Zu 2) x=1 in x³+x²(k-1)-k einsetzen, ergibt 1+k-1-k=0.

Answer 2

$$fk(x)= x^3+x^2*(k-1)-k$$$$f0(x)= x^3-x^2$$$$v(x)=π*f0(x)^2=$$$$π*(x^3-x^2)^2=$$$$π*(x^6-2x^5+x^4)$$

$$V(x)=$$$$ π(1/7x^7-2/6x^6+1/5x^5)$$$$V(0)=0$$$$V(-1)=$$$$π*(-1/7-2/6-1/5)$$$$≈-2,124$$$$V=V(0)-V(-1)≈2,124E^3$$

2)

$$fk(x)= x^3+x^2*(k-1)-k$$

$$fk(0)=-k$$

$$fk(1)= 1+(k-1)-k=0$$

x≠1

(x^3+x^2*(k-1)-k)/(x-1)=x^2+k*x +k

x^3-x^2

    x^2*k

     x^2*k-x*k

                 x*k -k

                 x*k -k

    X=-k/2+\( \sqrt{(k/2)^2-k} \)

 Für

$$(k/2)^2-k<0 $$

Für k<4 wird x=1 die einzige Nullstelle, ausser k=0

$$f0(x)=x^3-x^2 $$

x=1 Nullstelle; x=0 doppelte Nullstelle.