Abschätzung von Matrixnormen (Maximumsnorm, Zweinorm, 1-Norm)

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) folgende Abschätzungen gelten:

(i) \( \frac{1}{\sqrt{n}}\|A\|_{\infty} \leq\|A\|_{2} \leq \sqrt{n}\|A\|_{\infty} \)

(ii) \( \frac{1}{\sqrt{n}}\|A\|_{1} \leq\|A\|_{2} \leq \sqrt{n}\|A\|_{1} \)

Problem/Ansatz

Ich habe angesetzt mit 1/Wurzel(n)*Maximumsnorm(Ax) und habe dann die Definition der Maximumsnorm benutzt bis ich schliesslich durch kleiner-gleich-Abschätzungen das x ist der Maximumsnorm isoliert habe. Aber wie bringe ich das jetzt in Verbindung mit der Zweinorm? Ich sehe hier gerade gar keinen Bezugspunkt, sodass ich letztend Endes auf irgendwas mit einer Wurzel und dem Eigenwert komme.

Comments

Hallo,

das lässt sich auf die Beziehung zwischen den entsprechenden Vektornormen zurückführen. Sind Dir die bekannt?

Gruß

Answer 1

Es gilt für alle \( x \in \mathbb{R}^n \) $$ \| x \|_2 \le \| x \|_1 \le \sqrt{n} \| x \|_2  $$ Die letzte Ungleichung folgt aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.

Mit $$ \| A \|_1 = \text{max}_{ x \ne 0 } \frac{ \| A x \|_1  }{ \| x \|_1  } $$ und $$  \| A \|_2 = \text{max}_{ x \ne 0 } \frac{ \| A x \|_2  }{ \| x \|_2  } $$ folgt aus den Ungleichungen für die Vektornormen

$$  \| A \|_1  \le \sqrt{n} \| A \|_2 $$ und $$ \| A \|_2 \le \sqrt{n} \| A \|_1  $$ Zusammen folgt

$$ \frac{ 1 } { \sqrt{n} } \| A \|_1 \le \| A \|_2 \le \sqrt{n} \| A \|_1  $$

Der andere Beweis geht ähnlich.