Vollständige Induktion (stimmt das?)

Question

Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für genügend große $n \in \mathbb{N}$ die Ungleichung $n !>2^{n}$ gilt. Wie groß muss $N$ sein, damit die Ungleichung für alle $n \geq N$ gilt?

Wenn es eines gibt, was ich nicht kann dann ist es vollständige Induktion. Könnte hier deswegen jemand bitte drüber schauen, und kontrollieren, ob das korrekt bewiesen wurde? Vielen Dank!

Induktionsanfang: 4! > 2⁴

Induktionsschritt:

$(n+1) !>2^{n+1}$
$2(n+1) !>2^{n} \cdot 2$
$2 n !(n+1)>2^{n} \cdot 2$
es gilt von oben: $2 n !>2^{n} \cdot 2$ , deshalb ist 2*n! (n+1) sicher größer als 2^n * 2

Comments

Wie kommst du von $(n+1)!>2^{n+1}$ zu $2(n+1)!>2^n\cdot 2$? Wenn dann gilt:

$2(n+1)!>(n+1)!>2^n\cdot 2$

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2^(n+1) habe ich aufgespalten in 2^n *2 dann sieht das ja aus wie meine anfängliche Gleichung nur mit dem Faktor 2 hinten dran, also multipliziere ich auch vor das (n+1)! den Faktor 2

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Du spaltest $2^{n+1}=2^{n}\cdot 2$ ab, aber die linke Seite bleibt gleich, sonst sind die Umformungen nicht äquivalent. Du musst dann schreiben: $2(n+1)!>2^{n+1}=2^{n}\cdot 4$, wenn du mit 2 multiplizieren willst. Sonst geht das nur bei einer Abschätzung, die du hier auch machen könntest.

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Das soll anscheinend eine Abschätzung von $(n+1)!$ auf $2(n+1)!$ sein: $(n+1)!<2(n+1)!$

Answer 1

Dein Induktionsschritt ist durchaus richtig: $(n+1)!>2^{n+1}$ ist nicht äquivalent zu $2(n+1)!>2^{n}\cdot 2$, sondern zu $2(n+1)!>2^{n}\cdot 2\cdot 2$ (wir multiplizieren mit 2 und $2^{n+1}=2^n\cdot 2$). Dennoch kann man natürlich nach unten abschätzen: $2\cdot (n+1)! > (n+1)!>2^{n+1}$. Deine weiteren Schritte sind in Ordnung, egal ob mit oder ohne Abschätzen:
$2(n+1)!=2n!\cdot (n+1) \stackrel{IV}{>}2^n\cdot 4$ mit $n\geq 4$.

Sauber aufgeschrieben:
IS: $n\to n+1$:
$(n+1)!<2(n+1)!=2n!(n+1)\stackrel{IV}{>}2^n\cdot 2$, weil laut IV gilt: $n!>2^n \iff 2n! > 2^n \cdot 2$ und $n\geq 4$.

bzw. ohne Abschätzung:

IS: $n\to n+1$ $$\phantom{\iff{}}(n+1)!\stackrel{!}{>}2^{n}\cdot 2\\\iff 2(n+1)!\stackrel{!}{>}2^n \cdot 4 \\ \iff 2n!(n+1)\stackrel{IV}{>}2^n\cdot 4$$

Comments

Verstehe, wieso ist es dann allerdings hier möglich? (das Folgende habe ich aus dem Youtube Video eines Mathe Profs, der dieselbe Aufgabenstellung behandelt)

(n+1)! = (n+1) * k! > (n+1) * 2ⁿ

Ist das nicht genau dasselbe (falsche) Prinzip wie bei mir?

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Welche Aussage soll in deinem Beispiel bewiesen werden?

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wie es oben im Screenshot steht, also: n! > 2ⁿ für n größer gleich 4

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Das kann dadurch sein, dass der Professor gleich noch nach unten abgeschätzt hat, weil sehr eindeutig/trivial. Im Endeffekt sind beide Beweise gültig. Es ist durchaus sofort ersichtlich, dass $2\cdot (n+1)!> (n+1)!$ ist, also ist dein Beweis in Ordnung!

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Ich würde dann aber erstmal schreiben, dass du mit $2(n+1)!>(n+1)!$ abschätzt.

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Sauber aufschreiben würde ich das so: IS: $n\to n+1$

$(n+1)!<2(n+1)!=2n!(n+1)>2^n\cdot 2$, weil laut IV gilt: $n!>2^n \iff 2n! > 2^n \cdot 2$ und $n\geq 4$. Du möchtest ja von der linken auf die rechte Seite kommen. Das ist so besser ersichtlich. Sonst könnte man es auch so wie in meine Antwort schreiben.

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Ok! Vielen Dank für die Mühe!

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Ich habe meine Variante noch dazugepackt. Gerne und danke auch für das Beispiel des Professors.

Answer 2

Für N=4

n≥N n!>2ⁿ

3!=6<8=2³

Ind.Anfang$$4!=24>16=2^4$$

Ind.Annahme

$$n!>2^n$$$$n!*2>2^{(n+1)}$$$$n!*(n+1)>2^{(n+1)}$$$$(n+1)!>2^{(n+1)}$$

Ind. Schluss

Comments

dankeschön!!