(1) \(\frac{x}{a+b} + \frac{y}{a-b} = \frac{x(a-b)+y(a+b)}{a^2-b^2} = 2a\)
(2) \(\frac{x}{a-b} - \frac{y}{a+b} = \frac{x(a+b)-y(a-b)}{a^2-b^2} = 2b\)
Addieren von (1) und (2) liefert
\(\frac{x(a-b)+y(a+b)+x(a+b)-y(a-b)}{a^2-b^2} = \frac{x\cdot (a-b+a+b)+y\cdot (a+b-a+b)}{a^2-b^2} = \frac{x\cdot 2a + y\cdot 2b}{a^2-b^2}=2(a+b)\).
Daraus folgt
\(\frac{x\cdot a + y\cdot b}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)\cdot (a^2-b^2)}{a^2-b^2} \Rightarrow x\cdot a + y\cdot b = (a+b)\cdot (a^2-b^2) \Rightarrow x= \frac{(a+b)(a^2-b^2)-y\cdot b}{a}\).
Analog führt das Subtrahieren von (1) und (2) auf die Gleichung
\(-x\cdot b + y\cdot a = (a-b)\cdot (a^2-b^2)\).
Einsetzen ergibt dann
\(-b(a+b)(a^2-b^2)+y(b^2+a^2) = a\cdot (a-b)\cdot (a^2-b^2)\) und nach Umstellen
\(y(a^2+b^2) = (a^2-b^2)\cdot (a\cdot (a-b)+b\cdot (a+b)) = (a^2-b^2)\cdot (a^2+b^2) \\\Rightarrow y=a^2-b^2\).
Nun folgt \(x=\frac{(a+b)(a^2-b^2)-(a^2-b^2)\cdot b}{a} = \frac{(a^2-b^2) \cdot a}{a} = a^2-b^2\).
