transitiv, anti-symmetrisch oder symmetrisch Überprüfen!

Question

Aufgabe:

Wie überprüfe ich transitiv, anti-symmetrisch oder symmetrisch zutreffen auf

a) die folgende Relation $\bowtie$ auf der Menge $E=\mathcal{P}(\mathbb{R})$
$A \bowtie B \Longleftrightarrow A \cap B \neq \emptyset$

b) für jede Relation auf $E=\{1,2\}$. Also: wie gebe ich alle Relationen auf $E$ an und überprüfe jeweils welche Eigenschaften gelten.

Problem/Ansatz:

Könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?!

Answer 1

a) Symmetrie folgt aus Kommutativität von $\cap$.

Keine Antisymmetrie, weil z.B.: $(\{1,2\},\{2,3\}),(\{2,3\},\{1,2\})\in \ \bowtie$ aber $\{1,2\}\neq \{2,3\}$.

Keine Transitivität, weil z.B. $(\{1,2\},\{2,3\}),(\{2,3\},\{3,4\})\in \ \bowtie$, aber $(\{1,2\},\{3,4\})\notin \ \bowtie$.

b) Es ist $E\times E = \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\}$, von dieser betrachtest du nun jede Teilmenge einzeln als Relation und übst die dir gegebenen Definitionen.