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Aufgabe:

(17) Verwenden Sie obige Definition des Grenzwertes von Folgen und eine geeignete Abschätzung um festzustellen, dass die Folge
$$ a_{n}=\frac{4 n^{2}+n+1}{2 n^{2}+1} $$
gegen 2 konvergiert.

Bestimmen Sie ausserdem für \( \varepsilon=1 \) und \( \varepsilon=1 / 10 \) jeweils ein solches \( N(\varepsilon) \in \mathbb{N} . \)

Es geht hier aber nicht darum, \( N(\varepsilon) \) exakt auszurechnen, sondern die Differenz zum Limes geeignet abzuschätzen.


Versteht jemand was bei der 2. Aufgabe, also "Bestimmen Sie außerdem für e =1 ....“ zu tun ist?

von

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Die Definition des Grenzwerts einer Folge ist:

Eine Folge \((a_n)_{n\in N}\) besitzt einen Grenzwert \(A\), wenn es zu jedem \(\varepsilon >0\) einen Folgeindex \(N(\varepsilon)\in\mathbb{N}\) gibt, sodass für alle Folgeglieder \(a_n\) mit \(n\geq N(\varepsilon)\) die Ungleichung \(\lvert a_n-A\rvert < \varepsilon\) erfüllt ist. Es ist also genau dann \(A\) ein Grenzwert von \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\), wenn gilt: $$\forall \varepsilon >0 \quad\exists N(\varepsilon)\in\mathbb{N} \quad\forall n\geq N(\varepsilon) \;: \;\lvert a_n-A\rvert <\varepsilon.$$

Die Definition besagt also, dass \(A\) ein Grenzwert ist, wenn für jedes Epsilon größer 0 eine Zahl \(N(\varepsilon)\) gefunden werden kann, sodass für alle \(n>N(\varepsilon)\) dann \(\lvert a_n-A\rvert<\varepsilon \) ist. Wir müssen also zeigen, dass für jedes noch so kleine Epsilon immer ein \(N(\varepsilon)\) gefunden wird, sodass alle Folgeglieder ab \(N(\varepsilon)\) in dem Intervall \((A+\varepsilon, \quad A-\varepsilon)\) liegen.

Aufgabe 1:$$\begin{aligned}\left\lvert \frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}-2\right\rvert &= \frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}-\frac{2(2n^2+1)}{2n^2+1}\\&=\frac{4n^2+n+1-4n^2-2}{2n^2+1}\\&=\frac{n-1}{2n^2+1}\\&<\frac{n-1}{n^2-1}\\&=\frac{n-1}{(n-1)(n+1)}\\ &= \frac{1}{n+1}\end{aligned}$$ Also muss wegen \(\lvert a_n-A\rvert <\varepsilon\) gelten: $$\frac{1}{n+1}< \varepsilon\iff n> \frac{1}{\varepsilon}-1 .$$ Beweis: Sei \(N(\varepsilon)=\lfloor (1/\varepsilon)-1\rfloor\; (*)\). Folglich existiert für alle \(\varepsilon>0\) ein \(N(\varepsilon)=\lfloor (1/\varepsilon)-1\rfloor\) mit \(\forall n> N(\varepsilon)\) mit $$\frac{4n^2+n+1}{2n^2+1}<\frac{1}{n+1}<\frac{1}{N(\varepsilon)+1}<\frac{1}{1/\varepsilon}=\varepsilon .$$ Demnach haben wir für jedes \(\varepsilon\) ein \(N(\varepsilon)\) gefunden, sodass für \(n\geq N(\varepsilon)\) dann \(\lvert a_n-A\rvert<\varepsilon\) gilt. \(A=2\) ist also der gesuchte Grenzwert. \(\quad \square\)

Aufgabe 2:
Du sollst jetzt ein \(N(\varepsilon)\) finden, sodass alle Folgeglieder ab diesem \(N(\varepsilon)\) im Intervall \((A+1, \quad A-1)\) für \(\varepsilon=1\) und im Intervall \((A+0.1;\quad A-0,1)\) für \(\varepsilon =\frac{1}{10}\) liegen. Du kannst für \(\varepsilon\) die jeweiligen Werte einsetzen und weißt dann, wie groß \(n\) sein muss:

  • Für \(\varepsilon=1\) gilt wegen \((*)\): \(N(1)=\lfloor 1/1-1\rfloor=0<n\), also ab dem ersten Folgeglied befinden sich alle Folgeglieder in dem Intervall \((2+1, \quad 2-1)\).
  • Für \(\varepsilon=1/10\) gilt wegen \((*)\): \(N(1/10)=\lfloor 1/(1/10)-1\rfloor=10-1=9<n\), also insbesondere ab dem 10. Folgeglied variieren die Folgeglieder nur noch zwischen \((2+0,1; \quad 2-0,1)\).
von 2,1 k

Vielen Dank erstmal für die ausführliche Erklärung! Ich habe Aufgabe 1 jetzt so gemacht, dass ich den Grenzwert mithilfe der Regel von de l'Hospital bestimmt habe. Geht das also nicht?

Du hast also zuerst auf denselben Nenner gebracht aber wie kommst du auf das (n-1)/(2n^2+1) < ..... Also es ist natürlich offensichtlich, dass dieser Term kleiner ist als der andere aber wie kommt man überhaupt auf diesen Term?

Ich habe Aufgabe 1 jetzt so gemacht, dass ich den Grenzwert mithilfe der Regel von de l'Hospital bestimmt habe. Geht das also nicht?

In der Aufgabe ist gefordert, dass du mithilfe des Epsilon-N-Kriteriums beweist, dass der Grenzwert 2 ist. Natürlich kannst du dir dafür erstmal mithilfe von L'Hospital oder mit ausklammern von \(n^2\) klarmachen , dass 2 wirklich der Grenzwert der Folge ist. Danach musst du aber mit dem Epsilon-N-Kriterium weiter arbeiten, sonst ist die Aufgabe nicht erfüllt. Deine Aufgabe lautet nämlich:

Verwenden Sie obige Definition des Grenzwertes von Folgen [...], um festzustellen, dass die Folge [...] gegen 2 konvergiert.

Deshalb darfst du nicht mit L'Hospital argumentieren, sondern nur mit dem Epsilon-N-Kriterium. Setze also den vermuteten Grenzwert \(A=2\) ein und schätze geeignet ab, so wie ich das gemacht habe. Dann solltest du laut Definition für jedes \(\varepsilon\) ein \(N(\varepsilon)\) erhalten, sodass \(|a_n-A|<\varepsilon\) erfüllt ist. Das finde ich auch in meiner Antwort und deshalb weiß ich, dass \(A=2\) der gesuchte Grenzwert ist!

[...] wie kommt man überhaupt auf diesen Term?

Das ist ganz einfach. Du willst ja den ganzen Bruch vereinfachen (damit du nachher einfach das \(n\) finden kannst) und du darfst dabei nach unten abschätzen. Also habe ich so abgeschätzt, dass ich (n+1) aus dem Zähler mit dem Nenner kürzen kann. Dabei liegt die binomische Formel ganz nahe - denn \(2n^2+1\) ist von der Form \(an^2+bn+c\) und demnach ein quadratischer Term. Diesen kann man durch eine kleine Abschätzung auf \(n^2-c^2\) bringen, das Ergebnis der dritten binomischen Formel. Hier also \(n^2-1=(n+1)(n-1)\)! Jetzt können wir (n+1) kürzen und erhalten einen viel einfacheren Bruch als vorher und man kann auch ganz einfach nach n umstellen.

Um Missverständnisse zu vermeiden, sollte man in der vorletzten Zeile vielleicht klarer

 "also insbesondere ab dem 10. Folgeglied ... "    schreiben.

Ich füge noch das Wort "insbesondere" ein.

Hast du noch Fragen, mathie? Wenn du alles verstanden hast, dann schließe die Frage ab, andernfalls melde dich nochmal, falls irgendwelche Unklarheiten bestehen!

Einen schönen Nachmittag noch!

Auf solche ausführlichen Antworten darf man auch gerne einen Stern geben! Dann bleibt es nicht nur bei meinem Daumen :)

Danke RC und mathie, ich habe mir Mühe gegeben. :D

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Hallo

du sollst für ε=1 usw ein N(1)  angeben ab dem  für alle n>N(1)  gilt |an-2|<1

musst du den ausdruck auf den Hauptnenner bringen und abschätzen, übliches Mittel dazu ist Zähler vergrößern und (oder) Nenner verkleinern damit kannst du auf n/(2n^2) <ε kommen , also n>2/ε  und damit N(ε)=[2/ε] also nächst größere ganze Zahl  , für ε=1 und 1/10 kannst du dann N als Zahl angeben.

Gruß lul


.

von 47 k

warum rechnet man an nicht einfach aus und schaut dann ab wann |an-2|<1 gilt ? das erscheint mir irgendwie unkomplizierter. Wie genau vergrößere oder verkleinere ich dann den Nenner bzw. Zähler? Das darf ich doch nicht willkürlich machen oder?

Hallo

ich hab doch genau das gemacht

|an-1<1ausgerechnet? nur für ε allgemein und dann 1 eingesetzt? exakt ausrechnen kann man doch nur =1? (im vorigen post war noch ein Fehler, den ich korrigiert habe)

lul

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