Zeigen Sie: | f^{(n)} (0) | ≤ 3n!

Question

Aufgabe:

Es sei f eine ganze Funktion mit |f(z) - 2z| ≤ 1 für alle z auf dem Einheitskreisrand (ab hier "dE" genannt).

Zeigen sie: | \( f^{(n)} \)(0) | ≤ 3n! für alle n ∈ ℕ ∪ {0}.

Meine Idee wäre zunächst einmal zu zeigen, dass h(z):= f(z)-2z eine ganze und auf E beschränkte Funktion ist und damit nach Maximumsprinzip konstant sein muss.

Damit gilt, dass h(z)=f(z)-2z= c für ein c ∈ ℂ <=> f(z)= 2z+c. Wegen der Voraussetzung |h(z)|≤1 gilt |c|≤1. Also ist ingesamt |f(z)|=|2z+c|≤|2z|+|c|≤3.

So, jetzt eigentlich zu dem, was zu zeigen gilt:

Es ist nach der Cauchyschen Integralformel:

| \( f^{(n)} \)(0) | = \(\frac{n!}{2πi}\)·| \( \int\limits_{T} \) f(z)/ z^(n+1)  dz | ≤ \( \frac{n!}{2πi} \) ·2πi · max |f(z)| = n! · max |f(z)| ≤ n! · 3

Hierbei habe ich in der ersten Abschätzung die allgemeine Abschätzung mit der Länge des Integrals 2πi verwendet und dann die Abschätzung vom Anfang.

Ist die Idee so richtig? An ein paar Stellen hapert es für mich etwas an der Ausführung. Vor allem bin ich mir unsicher, ob meine Idee, dass h wegen dem Maximumsprinzip konstant ist, so richtig ist.

:)

Answer 1

Hallo,

ich sehe nicht, wie aus dem Maximumprinzip folgen soll, dass h konstant ist. Und wenn es so wäre, dann wäre ja, wie Du gesagt hast, \(f(z)=2z+c\). Aber dann wäre ja das Ergebnis völlig trivial, weil man die Ableitungen von f einfach angeben kann!

Allerdings folgt doch aus der Voraussetzung, dass auf dem Einheitskreisrand: \(|f(z)| \leq |2z|+1 \leq 3\). Mit dieser Info kannst Du doch die Cauchy-Formel direkt so verwenden, wie Du es getan hast.

Gruß