Epsilon Kriterium Abschätzung

Question

Text erkannt:

$$ a_{1000} \approx 6,602 $$
Veimating \( g=6 \)
$$ \begin{aligned} \left|a_{n}-y\right| &=\left|\frac{6 n^{2}+2 n-2}{n^{2}+1}-6\right|=\left|\frac{6 n^{2}+2 n-2-6 \cdot\left(n^{2}+1\right)}{n^{2}+1}\right|=\left|\frac{6 n^{2}+2 n-2-b n^{2}-6}{n^{2}+1}\right| \\ &=\left|\frac{2 n-8}{n^{2}+1}\right|=\frac{(2 n-8)}{1 n^{2}+1 \mid}=\frac{|2 n-8|}{n^{2}+1} \\ & \leq \frac{2 n+5}{n^{2}+1} \leqslant \frac{2 n+5}{n^{2}} \leq \frac{2 n+5 n}{n^{2}}=\frac{4 n}{n^{2}}=\frac{7}{n}<\varepsilon \quad=\left(n>\frac{4}{\varepsilon}\right) \end{aligned} $$

Hallo,

wir nehmen in der Uni gerade Konvergenzen von Folgen durch nur bei dem Epsilon-Kriterium verzweifle ich ein bisschen wenn es um so einen Beweis geht wie im Bild dargestellt. Bis zum 6. Schritt komm ich ja noch gut mit aber dann beginnt man abzuschätzen und hier ist mein Problem: wie schätzt man ab? Hab ich das richtig verstanden, dass es hier eigentlich tausende Möglichkeiten gäbe und, dass man eben strategisch klug vorgehen muss? Wieso schätzt er genau auf 2n-8 <= 2n+5 ab und nicht zum Beispiel <= 2n+50 das wäre ja eine noch "deutlichere" Ungleichung ?

Danke schon mal an jeden der hier versucht mir das Thema etwas näher zu bringen!

Answer 1

Hallo

abschätzen  durch vergrößern; Zähler vergrößern, Nenner verkleinern. jetzt |2n-8| abschätzen geht auf 2 Weisen

a) 2n>8 dann kann ich einfach |n-8|=2n-8 <2n  (oder natürlich auch <n+5  schreiben, muss aber behalten n>4

oder n<8 |2n-8|=8-n <2n+5 damit  hat  man für alle n eine Abschätzung. ich finde es einfacher n>4 und  dann 2n/n^2 im nächsten schritt, damit hat man am Ende 2/n<ε, n>2/ε und n>4  so dass dann N= max (4,2/ε) ist.

und wie groß man abschätzt ist nicht von Bedeutung, d.h. anfangs versucht man meist ein möglich kleines N(ε) zu finden, das ist aber nicht nötig, deshalb wurde hier die größere Abschätzung gewählt, dann hat man keine Fallunterscheidung.

Gruß lul