Epsilon-Delta-Kriterium Grenzwert bei Funktion gegen x0

Question

Aufgabe:

Hallo Zusammen, ich habe eine Frage zum Aufgabengebiet "Grenzwert einer Funktion gegen x₀ ". Zum lernen verwende ich das Buch:

Quelle: Lothar Kusch, Heinz Jung, Karlheinz Rüdiger: Kusch Mathematik 3 - Differentialrechnung Aufgabensammlung und Lösungen, Auflage 1, 1993, Berlin, Cornelsen Verlag, Seite 120.

In dem Beispiel geht es darum zu ermitteln, ob die Funktion \( \frac{1}{x} \) an der Stellte x₀ = 0 einen Grenzwert hat.

Problem/Ansatz:

Aus den vorherigen Beispiel wurde dies wie folgt verdeutlicht. Ich nähere mich x₀ von rechts und links so nah wie möglich an. Dadurch erhalte ich vereinfach eine Mittelwert g auf der y-Achse. Um diesen lege ich einen Intervall von ε = 0,2. Also g - ε und g + ε. Die Werte g + ε und g - ε setze ich in die Funktion ein und bekomme hierdurch die Ergebnisse für das δ auf der x-Achse. Hier nehme ich das kleineste δ zu x₀, dass ich nun als offenen Intervall x₀ - δ und x₀ + δ.

Mein Frage hierzu ist wie folgt: Bei allen grafischen Beispielen in diesem Buch, wird das δ bereits dargestellt, bevor ich das passende δ ermittelt habe. Woher kommt dieses δ? Kann ich es frei wählen?

Ich würde mich sehr freuen, wenn hierzu jemand eine Antwort für mich hätte. Die Berechnung bereitet mir keine Probleme, aber ich verstehe einfach nicht, woher diese Delta kommt.

Bei Bedarf kann ich gerne eine Grafik zeichnen und zur Verfügung stellen, falls meine Erklärung nicht ausreichen sollte.

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.

Viele Grüße

Thorsten

Comments

Schau Dir noch mal die Definition des Grenzwertes an.

Man muß nur zeigen, dass zu jedem beliebigen ε>0 solch ein δ existiert, damit der Grenzwert existiert. Auf den absoluten Wert von δ kommt es also nicht wirklich an, nur auf seine Existenz.

Im Prinzip sagt die Definition, wenn ich mich x₀ nur nahe genug nähere, nähert sich f(x) dem Grenzwert bei x₀ so nahe wie ich nur möchte.

Answer 1

wird das δ bereits dargestellt, bevor ich das passende δ ermittelt habe

???

Man sucht ein \(\delta\) so, dass \(|x-x_0|<\delta \implies |f(x)-g|<\varepsilon\). Also: \(\varepsilon\) vorgegeben, dazu suche \(\delta\).

Forme dazu \(|f(x)-g| <\varepsilon\) so um, dass \(|x-x_0|< ...\) da steht, das auf der rechten Seite ist dann \(\delta\). Das ist das grobe Vorgehen, so fängt man mal an. Manchmal muss man was nach oben abschätzen, denn man braucht ja (s.o.) nur \(\implies\).

Also, probier mal.

Nebenbei: wenn der Weg des Nachweises nicht vorgegeben ist, geht es normalerweise mit Folgen viel einfacher.