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Aufgabe: Welcher von allen Extrempunkten hat von Punkt P (0/2) minimalen Abstand?


Problem/Ansatz:

Ich habe zwei Extrempunkte E1 (0/0) und           E2 (2/3k / 4/27k^2) ich weiß aber nicht wie ich Anfangen muss :( ich weiß nur dass ich d^2 brauche aber weiß nicht mal was d^2 ist

Ich bitte um eine ausführliche Erklärung

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Hallo,

du hast einerseits \(\overline{E_1P}=2\) und andererseits das Quadrat der Abstandsfunktion zwischen \(E_2\) und \(P\):$$d^2(k)=\left(\frac{2}{3}k-0\right)^2+\left(\frac{4}{27}k^2-2\right)^2$$ Damit führst du jetzt eine Kurvendiskussion, um das Minimum zu bestimmen. Vergleiche anschließend mit \(\overline{E_1P}\). Ich erhalte für \(\overline{E_2P}=\frac{\sqrt{15}}{2}<\frac{\sqrt{16}}{2}=2=\overline{E_1P}\)

von 23 k

Ich weiß nicht ganz was ich mit  d^2 machen. Habe es versucht auszurechnen aber irgendwie klappt das alles nicht :(

Woran hängt es konkret? An der Ableitung, am Ausmultiplizieren der Binome?

Am ausmultiplizieren bekomme

4/9k - 50k^2/ 27k^2 raus

Es ist übrigens nicht vonnöten, auszuklammern!

Wende einfach die Kettenregel auf die beiden Binome an, die Ableitung brauchst du ja so oder so.

Das Quadrat der ersten Klammer ist \( \frac{4}{9} k^2\).

Das Quadrat der zweiten Klammer ist \( \frac{16}{729} k^4-\frac{16}{27} k^2+4\).

Die Kettenregel haben wir im Unterricht noch nicht angewendet :(

Dann multipliziere erst aus, abakus hat dir das gezeigt, und leite dann nach der potenzregel ab und bestimme die Nullstellen.

Wie kann ich das ableiten, weil da ist ja kein x nur der Parameter K ?

Das \(k\) ist, so wie \(x\), eine Variable. Stell dir einfach vor, dass dort statt \(k\) ein \(x\) stünde - das ist vollkommen unerheblich.

Wäre die Ableitung dann 64/729 k^3 - 32/27k + 4/9

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Ich habe zwei Extrempunkte \( E 1\left(\frac{0}{0}\right) \) und \( E 2\left(\frac{2}{3} k \mid \frac{4}{27} k^{2}\right) \)

\( x=\frac{2}{3} k \rightarrow k=\frac{3}{2} x \rightarrow k^{2}=\frac{9}{4} x^{2} \)
\( y=\frac{4}{27} k^{2} \rightarrow y=\frac{4}{27} \cdot \frac{9}{4} x^{2} \rightarrow y=\frac{1}{3} x^{2} \) Parabel (ist Ortslinie aller Extremwerte)
Kreis um \( P(0 \mid 2) \) mit Radius \( r \)
\( x^{2}+(y-2)^{2}=r^{2} \rightarrow(y-2)^{2}=r^{2}-x^{2} \)
\( y=\pm \sqrt{r^{2}-x^{2}}+2 \)
Berührpunkt:
\( \frac{1}{3} x^{2}=\pm \sqrt{r^{2}-x^{2}}+2 \)
\( \frac{1}{3} x^{2}-2=\pm\left.\sqrt{r^{2}-x^{2}}\right|^{2} \)
\( \frac{1}{9} x^{4}-\frac{1}{3} x^{2}=r^{2}-4 \mid \cdot 9 \)
\( x^{4}-3 x^{2}=9 \cdot r^{2}-36 \)
\( \left(x^{2}-\frac{3}{2}\right)^{2}=9 \cdot r^{2}-36+\frac{9}{4} \)
\( x^{2}=\frac{3}{2} \) weil Diskriminante \( =0 \)
\( B_{1,2}\left(\pm \sqrt{\frac{3}{2}} \mid \frac{1}{2}\right) \)
\( k=\frac{3}{2} \cdot x \rightarrow k=\frac{3}{2} \sqrt{\frac{3}{2}} \)
\( E 2\left(\frac{2}{3} k \mid \frac{4}{27} k^{2}\right) \rightarrow E 2\left(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \mid \frac{4}{27} \cdot\left(\frac{3}{2} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}\right)^{2}\right) \rightarrow E_{2}\left(\sqrt{\frac{3}{2}} \mid \frac{1}{2}\right) \mathrm{mfG} \) Moliets

Unbenannt1.PNG

von 1,9 k

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