Welcher Punkt hat minimalen Abstand zu Parabel?

Question

Welcher Punkt P auf der Parabel mit der Funktionsgleichung f(x)=0,5x^2-2 hat vom Punkt T(0|3,5) minimalen Abstand?

Wie groß ist der minimale Abstand?

Mein Ansatz ist folgender:

d^2 = (x-0)^2 + ((0,5x^2-2)-3,5)^2

Könnte mir jemand ab hier weiterhelfen?

Answer 1

d² = (x-0)² + ((0,5x²-2)-3,5)²

d^2 = x^2 + ( 0.5*x^2 - 5.5 ) ^2
x^2 = z
d^2 = z + ( 0.5*z - 5.5 ) ^2
d^2 = z + 0.25*z^2 - 5.5 * z + 5.5^2
[ d^2 ] ´ = 1 + 0.5*z - 5.5 
2 * d = 0.5 * z - 4.5
0.25 * z - 2.25 = 0
z = 9

x^2 = 9
x = + 3
x = -3

Soviiel zunächst. Alle Angaben ohne Gewähr.

mfg Georg

Comments

Ich habe es jetzt folgendermaßen versucht zu lösen:

Bin mir allerdings nicht sicher, ob das so richtig ist?

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Das sieht sehr gut aus :-)

vgl. meine Antwort

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Wie wäre es mit einer Proberechnung, damit Du Dir sicher bist, dass es richtig ist?

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Hallo Georg,

z = x²

d² = 0.25*z² - 4.5 * z + 5.5² 

[ d² ] '  =  0,5 z * z^' - 4,5 z' = 0  (die  innere Ableitung  von z fehlt bei dir)

⇔ 0,5 z' * (z - 9) = 0

⇔  x * ( x² - 9 )  = 0

 x₁ = 0  ;   x₂  =  3  ;  x₃ = -3  

Gruß Wolfgang

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@fragesteller

d^2 = 1/ 4 * x^4 - 4.5 * x^2 + 30.25
allgemein
d^2 = term
d = √ term
d ´ = ( term ´ ) / ( 2 * √ term )
Extremwert :
( term ´ ) / ( 2 * √ term ) = 0  => Zähler = 0
term ´ = 0
( 1/ 4 * x^4 - 4.5 * x^2 + 30.25 ) ´ = 0
x^3 - 9 * x = 0
x * ( x^2 - 9 ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden.
x = 0
und
x^2 - 9 = 0
x^2 = 9
x = + 3
x = -3

Ob min oder max ?

d ( 0 )
d ( 3 )
d (-3)
berechnen.

Answer 2

Hallo CB,

wie oben gesagt, sind deine Extremstellen x = 0 und x = ± 3 richtig.

 [ d²(x) ] " = 3x² - 9

Mit   3 * (±3)² - 9   =  18  >  0   kannst du jetzt nachweisen, dass für  x = ± 3 Minimumstellen  vorliegen.

> Wie groß ist der minimale Abstand?

Der minimale Abstand selbst beträgt

d(x) = √(x⁴ - 18·x² + 121) / 2    an den Stellen x = ± 3

d(±3) = √10  [LE] 

Gruß Wolfgang

Answer 3

Die Abstandsfunktion hat Minima bei den x-Koordinaten, bei denen der Abstand minimal wird: