Kombinatorik, Stochastik Statistik Aufgabe

Question

Aufgabe:

Angenommen E(X²) existiert und sei V(X) = E((X - E(X))²) Zeigen Sie, dass V(X) = E(X²) - E(X)²

Problem/Ansatz:

Meine Lösung war: V(X) = E((X - E(X))²) = E((X² - E(X)²)) = E(X²-E(X)²) = E(X²) - E(X)²

Leider war diese Lösung falsch und ich weiß sonst nicht wie ich es lösen soll. Wie müsste man diese Aufgabe lösen?

Answer 1

Aloha :)

Der Erwartungswert ist linear, daher gilt für die Varianz:

$$V(X)=\left<(X-\left<X\right>)^2\right>=\left<X^2-2X\left<X\right>+\left<X\right>^2\right>=\left<X^2\right>-\left<2X\left<X\right>\right>+\left<\left<X\right>^2\right>$$$$\phantom{V(X)}=\left<X^2\right>-2\left<X\right>\left<X\right>+\left<X\right>^2=\left<X^2\right>-2\left<X\right>^2+\left<X\right>^2=\left<X^2\right>-\left<X\right>^2$$

Comments

Vielen Dank für die Antwort!!

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Könnten Sie vielleicht noch schrittweise erklären, wie Sie auf die Lösung gekommen sind, wenn das in Ordnung wäre?

Also welche Formeln Sie angewandt haben, damit ich ein besseres Verständnis davon bekomme.

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Der Erwartungswert bzw. der Mittelwert ist linear. Das bedeutet, dass die folgenden beiden Rechenregeln gelten. Sei $a$ eine konstante Zahl und $A,B$ zwei Zufallsvariablen, dann gilt:$$(1)\quad\langle A+B\rangle=\langle A\rangle+\langle B\rangle$$$$(2)\quad\langle a\cdot A\rangle=a\cdot\langle A\rangle$$

Damit schreibe ich meine Herleitung von oben nochmal etwas detaillierter auf:

Per Definition ist:$$V(X)=\left<(X-\left<X\right>)^2\right>$$Darauf wende ich die 2-te binomische Formel an:$$=\langle \underbrace{X^2}_{=A}-\underbrace{2X\langle X\rangle}_{=B}+\underbrace{\langle X\rangle^2}_{=C}\rangle$$Nun wird Regel (1) auf alle 3 Summanden angewendet:$$=\langle\underbrace{X^2}_{=A}\rangle-\langle\underbrace{2X\left<X\right>}_{=B}\rangle+\langle\underbrace{\left<X\right>^2}_{=C}\rangle$$In der Mitte kommt jetzt Regel (2) zum Zug, denn $2\cdot\langle X\rangle$ ist eine konstante Zahl, die wir vor die spitze Klammer ziehen können:$$=\left<X^2\right>-\underbrace{2\left<X\right>}_{=a}\left<X\right>+\left<X\right>^2$$Die beiden Mittelwerte werden zum Quadrat multipliziert:$$=\left<X^2\right>-2\left<X\right>^2+\left<X\right>^2$$$und mit dem letzten Quadrat verrechnet:$$=\left<X^2\right>-\left<X\right>^2$$

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Vielen Dank!!

Answer 2

Versuche mal (X - E(X))2 mit der binomischen Formel richtig auszumultiplizieren und den Erwartungswert summandenweise zu bilden.

Comments

Wäre das so richtig?

(X - E(X))² = (X - E(X)) • (X - E(X)) = X • X - X • E(X) - E(X) • X + E(X) • E(X) = X² - 2 • X • E(X) + E(X)²

Jetzt weiß ich aber nicht wie ich das weiter umformen muss