Berechnen alle möglichen Produkte der Matrizen A * B mit Modulo 5

Question

Aufgabe: Gegeben seien folgende Matrizen über dem Körper \(\mathbb{Z}_5\): $$A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&4\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}2&3&1\\2&0&3\\0&1&4\end{pmatrix}$$

Berechnen Sie alle möglichen Produkte der Matrizen A und B.

Problem/Ansatz: Muss ich jedes Paar multiplizieren, damit z.B bei A die Produkte wären 1.0 x 5 = 5, 2.4x5= 40?

Ich weiß, dass die Lösung wahrscheinlich sehr einfach ist, aber ich weiß nicht wie ich mit modulos multiplizieren/anfangen kann..

Answer 1

Berechne einfach das Produkt der beiden Matrizen, so wie du es sonst bei Koeffizienten aus den reellen Zahlen machen würdest. Dann erhältst du für die erste Möglichkeit $$A\cdot B=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2&3&1\\2&0&3\\0&1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 5 & 9 \\ 2 & 4& 19\end{pmatrix}$$ Jetzt nach dem Berechnen jedes Eintrags der Matrix mit Modulo 5 erhältst du das Endprodukt im \(\mathbb{Z}_5\): $$\begin{pmatrix}2 & 5 & 9 \\ 2 & 4& 19\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix}2 & 0 & 4\\ 2 & 4& 4\end{pmatrix}\pmod{5},$$ weil \(5\equiv 0\pmod{5}\), \(9 \equiv 4\pmod{5}\) und \(19 \equiv 4\pmod{5}\). Das wäre dein Ergebnis des Produkts der Matrizen \(A\cdot B\) über dem Körper \(\mathbb{Z}_5\).

Die zweite Möglichkeit wäre \(B\cdot A\), die geht aber nicht: Die Anzahl der Spalten der ersten Matrix muss nämlich gleich der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix sein, damit man sie multiplizieren kann - das ist hier nicht der Fall. Deshalb gibt es nur die eine Möglichkeit \(A\cdot B\)!

Answer 2

Bei A*B ist das obere linke Element 1*2 + 0*2 + 2*0 = 2

also 1. Zeile von A mal 1. Spalte von B.

Das 2. Element der 1. Zeile ist

1. Zeile von A mal 2. Spalte von B. 1*3 + 0*0+2*1 = 5

etc, gibt dann als A*B =

2    5   9
 2     4   19

B*A klappt nicht.