Lineare Gleichungssystem mit Elementarmatrizen und Einheitsmatrix

Question

Aufgabe: Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem.

             2x₁ + x_{2 +} x₃ = 1

                    - x₂ + x₃ = 3

                                +5x₃ = 5

Schreiben Sie das Gleichungssytem in der Form Ax = b, wobei A∈ Q^3x3  , b∈ Q^3x1.

^{Multiplizieren Sie A von links mit geeigneten Elementarmatrizen, bis A in die Einheitsmatrix E}₃ ^{überführt wurde.}

Problem/Ansatz:

Bis jetzt habe ich :

A= 2 1 1               B= 1

    0  -1 1                    3

   0   0   5                   5

Ich weiß jetzt nicht genau wie es multiplizieren soll, um die Einhietsmatrix zu finden/verwenden.

Answer 1

Multipliziere A von links mit

1   0    0
0   1    0
0    0    0,2

Dann wird aus der 5 unten rechts ein 1

Danach musst du ja rechnen:

3. Zeile minus zweite , dazu multiplizierst du

von links mit

1  0    0
0  1    -1
0    0    1   

und hast jetzt

2   1    1   
0   -1    0
0    0     1

jetzt 1. Zeile minus 3. dazu Elementarmatrix

1  0    -1
0  1     0
0    0    1 

dann 1. Zeile plus zweite mittels

1  1    0
0  1    0
0    0    1 

und du hast

2   0     0
0   -1    0
0    0     1

Die 2. Zeile mal -1 mittels

1    0    0
0   -1    0
0    0    1 

und dann noch die 1. zeile mal 0,5 mit

0,5     0    0
0      1    0
0       0    1 

und dann hast du die Einheitsmatrix.

Comments

danke !

wo hast du oben 0,2 her?

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Da war ja eine 5 und aus der muss eine 1

werden, also 5*0,2 = 1

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aber wenn man so rechnet:

(A) 2 1 1            1 0 0  

      0 -1 1    Χ     0 1 0

      0 0 5            0 0 .2 

bekommt man: 2 1 0.2

                         0 -1 0.2

                         0 0   1.

Das verstehe ich leider nicht ganz, also der Vorgang

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Oh ja, da hatte ich nicht gut aufgepasst.

Man muss also vorher noch die Elementarmatrizen

1  0  -0,2
0  1    0
0   0    1

und

1  0    0
0  1    -0,2
0  0    1

benutzen um auf

2 1  0
0 -1 0 
 0 0 5

zu kommen.