Von Permutationsmatrix auf Einheitsmatrix

Question

Aufgabe:

Es sei P eine Permutationsmatrix. Zeigen Sie, dass es eine ganze Zahl k >= 1 gibt,
so dass P^k die Einheitsmatrix ist.

Problem/Ansatz:

[0 1 0]

[1 0 0]

[0 0 1]

bei dieser Matrix waere es P^2

[0 1 0]
[1 0 0] 
[0 1 0]

und bei dieser Matrix P^3

Wie kann das am besten zeigen?

Comments

Tipp 1: Deine letzte Matrix ist singulär und damit sicher keine Permutationsmatrix.
Tipp 2: Das Produkt zweier Permutationsmatrizen ist wieder eine solche.
Tipp 3: Es gibt nur endlich viele n×n-Permutationsmatrizen.

Answer 1

Die Matrix tauscht Zeile1<>Zeile2 oder Spalte1<>Spalte2, wenn man das 2mal macht hat man wieder die Einheitsmatrix: Tauschmatrizen sind Selbstinvers: einfach nachrechnen....

Comments

Ok, also einfach P * P und dann hab ich das gezeigt?