Wie lautet der Rechenweg der Angaben

Question

Aufgabe:

Am Abendgymnasium findet ein hochkarätiges Volleyballturnier statt. Folgende Situation kann mithilfe der Vektorrechnung beschrieben werden.

Professor Bizeps trifftden Ball beim Angriff nach einem genialen Aufspiel vonseiner Mitspielerin Professor Ballauf im Punkt A=(1,5|1|2,5).Eine Zehntelsekunde später befindet sich der Ball im Punkt B=(2,8|−0,9|2). Das Volleyballfeld befindet sich in der xy-Ebene, und die Koordinaten sind in Meter gegeben.

a) Unter der Annahme, dass der Ball zwischen den Punkten A und B eine geradlinige Flugbahn hat, bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Balls in m/s.

b) Im Gegnerischen Team hechtet Frau Professor Gugl dem Ball entlang derGeraden g:X=(⁻¹1₁)+r⋅(¹1_1,5) entgegen. Berechnen Sie, unter welchem Winkel Frau Prof. Gugl den Ball annimmt.

Problem/Ansatz:

Rechenwege für Bsp a und b

Answer 1

Aloha :)

Die Flugbahn des Balles mit dem Parameter $t$ in Sekunden lautet:$$\vec x=\begin{pmatrix}1,5\\1\\2,5\end{pmatrix}+10t\left[\begin{pmatrix}2,8\\-0,9\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1,5\\1\\2,5\end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}1,5\\1\\2,5\end{pmatrix}+10t\begin{pmatrix}1,3\\-1,9\\-0,5\end{pmatrix}$$$$\vec x=\begin{pmatrix}1,5\\1\\2,5\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}13\\-19\\-5\end{pmatrix}$$

Die Geschwindigkeit des Balles in $\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ ist damit:

$$v=\left\|\begin{pmatrix}13\\-19\\-5\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{13^2+19^2+5^2}=\sqrt{555}\approx23,5584$$

Der Winkel $\alpha$, unter dem Frau Professorin Gugl dem Ball annimmt, ist der zwischen den beiden Richtungsvektoren der Geraden:

$$\cos\alpha=\frac{\begin{pmatrix}13\\-19\\-5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1,5\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}13\\-19\\-5\end{pmatrix}\right\|\left\|\begin{pmatrix}-1\\-1\\-1,5\end{pmatrix}\right\|}=\frac{13-19-7,5}{\sqrt{555}\cdot\sqrt{4,25}}\approx-0,277967$$$$\alpha=106,14^\circ\quad\text{bzw.}\quad\alpha=73,86^\circ$$Als Schnittwinkel von 2 Gerade gibt man normalerweise den kleinst-möglichen an, daher die zweite Lösung.