Angabe der Elemente einer Menge

Question

Aufgabe:

Auflistung der Elemente folgender Menge:

$$\left\{x\in\mathbb{Q}|0<5x+1\leq 12 \wedge x=\frac{m}{n}\quad m,n\in\mathbb{N}, \quad n<6 \right\}$$

Wie löst man eine solche Aufgabe überhaupt? :/

Kann ich durch Umformen das Intervall umschreiben zu:

$$-\frac{1}{5} < \frac{m}{n} \leq \frac{11}{5}$$ 

Aber nun?

Answer 1

Aloha :)

$$\left.0<5x+1\le12\quad\right|\quad x=\frac{m}{n}$$$$\left.0<5\frac{m}{n}+1\le12\quad\right|\quad -1$$$$\left.-1<5\frac{m}{n}\le11\quad\right|\quad :5$$$$\left.-\frac{1}{5}<\frac{m}{n}\le\frac{11}{5}\quad\right.$$Da $m,n\in\mathbb N$ sein soll, ist $\frac{m}{n}>0$, sodass wir die untere Grenze anpassen können:$$\left.0<\frac{m}{n}\le\frac{11}{5}\quad\right|\quad\cdot n$$$$\left.0<m\le\frac{11}{5}\cdot n\quad\right.$$Da $n<6$ sein soll, können wir die Lösungsmenge nun ablesen:

$$n=1\quad\Rightarrow\quad m\le\frac{11}{5}\quad\Rightarrow\quad m=1;2$$$$n=2\quad\Rightarrow\quad m\le\frac{22}{5}\quad\Rightarrow\quad m=1;2;3;4$$$$n=3\quad\Rightarrow\quad m\le\frac{33}{5}\quad\Rightarrow\quad m=1;2;3;4;5;6$$$$n=4\quad\Rightarrow\quad m\le\frac{44}{5}\quad\Rightarrow\quad m=1;2;3;4;5;6;7;8$$$$n=5\quad\Rightarrow\quad m\le\frac{55}{5}\quad\Rightarrow\quad m=1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11$$

Damit haben wir alle Elemente der Menge gefunden:

$$M=\left\{\left.\frac{m}{n}\in\mathbb Q\;\right|\;n,m\in\mathbb N\;\land\;n\le5\;\land\;m\le2n\right\}$$

Comments

Hältst du das für eine Auflistung ?

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Irgendwas mache ich falsch. Schon wieder ist ein Versuch schiefgegangen, einen Fragesteller mit einem wegweisenden Hinweis in die Handlungsspur zu bringen.

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@abakus doch hast du, hatte mir jetzt eine Tabelle erstellt und alle doppelten Werte raus gestrichen. :)

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alle doppelten Werte raus gestrichen. :)

Das war eine vorzügliche Idee...

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@abakus

Ich hoffe ich lese hier keine Ironie raus.

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Im Gegenteil. Du hast nicht nur mechanisch Paare (m,n) aufgelistet, sondern die Gleichwertigkeit mehrerer Paare erkannt.

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Wenn du alle doppelten Werte steichst, sollten übrig bleiben:

$1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10$

$\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4};\frac{1}{5};\frac{2}{3};\frac{2}{5};\frac{3}{2};\frac{3}{4};\frac{3}{5};\frac{4}{3};\frac{4}{5};\frac{5}{3};\frac{5}{4};\frac{6}{5};\frac{7}{4};\frac{7}{5};\frac{8}{5};\frac{9}{5}$

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Was ist mit

$$\frac{11}{5}$$

und wieso ist 3,4,5..,10 mit drin?

Ah du hast das <= nicht richtig abgeschrieben sehe ich gerade. Deshalb ist die 11/5 auch nicht mit drin.

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Ah, das $\le$ habe ich übersehen, dann ist $\frac{11}{5}$ natürlich mit drin.

Bei den ganzen Zahlen hast du Recht, da kommen nur die $1$ und die $2$ vor. Ich bin in Excel in die falsche Zeile gerutscht, sorry dafür.

Ich korrigiere das mit dem $\le$ gleich noch in meiner Antwort.

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Gut ok geklärt! :D

Answer 2

Du hast etwas überlesen:

n<6

Damit geht es nur um eine überschaubare Menge von Brüchen mit den Nennern 1 bis 5.