Integralrechnung Stammfunktion begründen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f, zu der es eine Stammfunktion gibt. Begründen Sie.

a) Wenn f nur gerade Exponenten hat, so gilt

\( \int \limits_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int \limits_{0}^{a} f(x) d x \)

b) Wenn f nur ungerade Exponenten hat, so gilt

\( \int \limits_{-a}^{a} f(x) d x=0 \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich dies begründen soll.

Answer 1

Aloha :)

Wenn \(f\) nur gerade Exponenten hat gilt \(f(-x)=f(x)\;[\ast]\), sodass:$$\int\limits_{-a}^af(x)dx=\int\limits_{-a}^0f(x)dx+\int\limits_0^af(x)dx=\int\limits_0^{-a}-f(x)dx+\int\limits_0^af(x)dx$$Substituiere:\(\;u=-x\;;\;\frac{du}{dx}=-1\;\Rightarrow\;du=-dx\;;\;u(0)=0\;;\;u(-a)=a\)$$=\int\limits_0^af(-u)du+\int\limits_0^af(x)dx\stackrel{[\ast]}{=}\int\limits_0^af(u)du+\int\limits_0^af(x)dx=2\int\limits_0^af(x)dx$$

Wenn \(f\) nur ungerade Exponenten hat gilt \(f(-x)=-f(x)\)\;[\ast\ast], sodass:$$\int\limits_{-a}^af(x)dx=\int\limits_{-a}^0f(x)dx+\int\limits_0^af(x)dx=\int\limits_0^{-a}-f(x)dx+\int\limits_0^af(x)dx$$Substituiere:\(\;u=-x\;;\;\frac{du}{dx}=-1\;\Rightarrow\;du=-dx\;;\;u(0)=0\;;\;u(-a)=a\)$$=\int\limits_0^af(-u)du+\int\limits_0^af(x)dx\stackrel{[\ast\ast]}{=}-\int\limits_0^af(u)du+\int\limits_0^af(x)dx=0$$