Eine Funktion f ( x ) ist genau dann differenzierbar an einer Stelle x0 ihres Definitionsbereiches, wenn der Grenzwert
$$\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ \frac { f(x)-f({ x }_{ 0 }) }{ x-{ x }_{ 0 } } }$$
existiert. Ist das der Fall, so bezeichnet man diesen Grenzwert als die Ableitung von f an der Stelle x0 und schreibt dies als f ' ( x0 )
Der Grenzwert existiert genau dann, wenn sowohl der linksseitige Grenzwert
$$\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 }^{ - } }{ \frac { f(x)-f({ x }_{ 0 }) }{ x-{ x }_{ 0 } } }$$
als auch der rechtsseitige Grenzwert
$$\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 }^{ + } }{ \frac { f(x)-f({ x }_{ 0 }) }{ x-{ x }_{ 0 } } }$$
existiert und beide gleich sind.
Das ist in deinem Beispiel der Fall, denn beide Grenzwerte haben den Wert 0. Sie existieren also und haben denselben Wert. Daher ist f ' ( x 0) = 0.
Da f ( x ) an der Stelle x = 0 definiert ist als f ( x ) = x 2 ist die Ableitungsfunktion von f an dieser Stelle:
f ' ( x ) = 2 x
Somit lautet also die Ableitung von f insgesamt:
$$f'(x)=\left\{ \begin{matrix} -2x\quad für\quad x<0\quad \quad \\ 2x\quad für\quad 0\le x\le 1 \\ 2\quad für\quad x>1 \end{matrix} \right\}$$
