für n >=6 zeigen, dass 3^n > 2n^3 gilt. (Vollständige Induktion)

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie durch vollständige Induktion für jedes n>=6 aus den natürlichen Zahlen, dass 3^n > 2n^3 gilt.

Problem/Ansatz:

Komme insbesondere beim Induktionsschluss nicht weiter. Habe in etwa 3^(n+1) > (2n^3) * 3.

Kann von (2n^3)*3 aber nicht auf 2(n+1)^3 schließen.

Answer 1

Kann von (2n³)*3 aber nicht auf 2(n+1)³ schließen.

Um das auf das Vorhergehende zuzückzuführen, kann man

(2n³)*3 als (2n³)+ 2*(2n³) schreiben und

 2(n+1)³  als 2n³ + 6n²+6n+2.

Im Kern musst du also zeigen, dass der Zuwachs von 2*(2n³) auf der linken Seite größer ist als der Zuwachs von 6n²+6n+2. auf der rechten Seite.

Comments

Danke für die Antwort. Soweit war ich auch, aber ich weiß nicht, wie ich zeige, dass der Zuwachs größer ist.

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Außerdem liegt der graph von 6n^2+6n+2 über dem Graphen von 2*2n^3. Der Zuwachs ist also keineswegs größer.

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Hast du daran gedacht, dass n mindestens 6 ist?

Du kannst die recht Seite sehr großzügig nach ober abschätzen zu

6n²+6n+2<6n²+6n²+6n², also zu

6n²+6n+2<18n².

Trotzdem ist 18n²<4n³, weil für n≥6 ganz sicher 18<4n gilt.

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Das macht Sinn. Danke dir, für deine Hilfe. :)

Answer 2

Das kann man z.B. durch Äquivalenzumformung der zu begründenden Ungleichung versuchen

3^(n+1) > 2(n+1)^3

3*3^n > 2( n^3 + 3n^2 + 3n + 1 )

3*3^n > 2n^3 + 6n^2 + 6n + 2  | : 3 

3^n > (2/3)n^3 + 2n^2 + 2n + 2/3

3^n > 2n^3 -  (4/3)n^3 + 2n^2 + 2n + 2/3

und das wird durch die Induktionsannahme abgedeckt, wenn man

zeigen kann, dass  -(4/3)n^3 + 2n^2 + 2n + 2/3

jedenfalls nicht größer als 0 ist .

Also nehmen wir uns das vor :

                     -(4/3)n^3 + 2n^2 + 2n + 2/3 < 0

                    <=>  2n^2 + 2n + 2/3 < (4/3)n^3

                    <=>  6n^2 + 6n + 2  < 4n^3

                    <=>  6n^2 + 6n + 2  < n^3  + n^3 + n^3 + n^3

Für n≥6 ist der 1. Summand links kleiner oder gleich dem ersten rechts

                   ebenso für den 2. und den 3. und dann

ist da rechts noch der 4. Also die rechte Seite sicher größer

als die linke.    q.e.d.

Comments

Vielen Danke für deine Hilfe! :D