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Hallo

In der Schule müssen wir eine Aufgabe lösen, die ich nicht ganz verstehe

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass 2n 3 + 3n 2 + n immer 6 teilt.

Wie muss ich nun hier vorgehen?

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Überlege zunächst den Induktionsanfang. Wenn die Aufgabe nichts zum Startargument sagt, nimmst du \(n=0\), das ist am einfachsten.

Hi bräuchte bei folgender Aufgabe Hilfe!Bild Mathematik

Das hier habe ich bis jetzt gemacht. Aber ich bräuchte jemanden der mir das "zuende" bringt. Weiß nicht mehr was ich noch umformen soll.

Bild Mathematik

Sicher, dass du einen Induktionsbeweis machen musst?

Versuche mal das Polynom zu faktorisieren und diskutiere die Faktoren.

Kp um ehrlich zu sein:D Was meinst du mit faktorisieren? Einfach eine 6 vorklatschen? dann ist es durch 6 teilbar jo. Aber das ist doch zu einfach. Oder kannst du mir schreiben wie du das meinst bzw. nen Bild schicken?

2n^3 + 3n^2 + n

= n ( 2n^2 + 3n + 1)

und dann weiter zur ersten alternate form hier:

Bild Mathematik

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2n%5E3+%2B+3n%5E2+%2B+n 

Da n und n+1 in der Faktorisierung vorkommen, muss der gegebene Term durch 2 teilbar sein.

Vielleicht kannst du auch noch erklären, warum der Term auch durch 3 teilbar sein muss. Wenn nicht, kannst du immer noch eine vollst. Induktion für Teilbarkeit durch 3 ins Auge fassen.

https://www.mathelounge.de/242224/vollstandige-induktion-2n-3-3n-2-n-sei-durch-6-teilbar

n ausklammern, dann den quadratischen Resterm zerlegen:

n·(n + 1)·(2·n + 1) = 2n3 + 3n2 + n

hmm k. Aber somit habe ich nur gezeigt, dass es durch 2 teilbar ist. Eine Zahl die durch 6 teilbar ist, ist auch durch 2 teilbar. BIn ich jetzt somit schon fertig? Und was zur Hölle ist das für eine Matheseite:D

Da hatte ich das schon mal mit vollständiger Induktion gezeigt

Behauptung

2·n^3 + 3·n^2 + n ist durch 6 teilbar

Induktionsanfang: n = 1

2·1^3 + 3·1^2 + 1 = 6

wahr, da 6 durch 6 teilbar ist

Induktionsschritt: n --> n + 1

2·(n + 1)^3 + 3·(n + 1)^2 + (n + 1) ist durch 6 teilbar

2·(n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1) + 3·(n^2 + 2·n + 1) + (n + 1) ist durch 6 teilbar

2·n^3 + 9·n^2 + 13·n + 6 ist durch 6 teilbar

2·n^3 + 3·n^2 + 6·n^2 + n + 12·n + 6 ist durch 6 teilbar

(2·n^3 + 3·n^2 + n) + (6·n^2 + 12·n + 6) ist durch 6 teilbar

(2·n^3 + 3·n^2 + n) + 6·(n^2 + 2·n + 1) ist durch 6 teilbar


Der linke Summand ist wegen der Induktionsannahme durch 6 teilbar und der rechte Summand ist durch 6 teilbar weil er den Faktor 6 enthält.

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Behauptung

2·n^3 + 3·n^2 + n ist durch 6 teilbar

Induktionsanfang: n = 1

2·1^3 + 3·1^2 + 1 = 6

wahr, da 6 durch 6 teilbar ist

Induktionsschritt: n --> n + 1

2·(n + 1)^3 + 3·(n + 1)^2 + (n + 1) ist durch 6 teilbar

2·(n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1) + 3·(n^2 + 2·n + 1) + (n + 1) ist durch 6 teilbar

2·n^3 + 9·n^2 + 13·n + 6 ist durch 6 teilbar

2·n^3 + 3·n^2 + 6·n^2 + n + 12·n + 6 ist durch 6 teilbar

(2·n^3 + 3·n^2 + n) + (6·n^2 + 12·n + 6) ist durch 6 teilbar

(2·n^3 + 3·n^2 + n) + 6·(n^2 + 2·n + 1) ist durch 6 teilbar


Der linke Summand ist wegen der Induktionsannahme durch 6 teilbar und der rechte Summand ist durch 6 teilbar weil er den Faktor 6 enthält.

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Induktionsanfang: n = 1: 2 * 1³ + 3 * 1² + 1 = 2 + 3 + 1 = 6.

Induktionsschritt: Induktionsvoraussetzung: (2n³ + 3n² + n)/6 ∈ ℕ

Induktionsbehauptung: (2(n+1)³ + 3(n+1)² + n + 1)/6 ∈ ℕ

Beweis: Wir sagen was hier x ist: 2n³ + 3n² + n + x = 2(n+1)³ + 3(n+1)² + n + 1. Das muss durch 6 teilbar sein.

Das x ist hier nach einer Umformung: x = 6n² + 12n + 6. Und da wir hier nur Vielfache von 6 haben, ist diese Zahl durch 6 teilbar.

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