Beweis mit Körper und Vektoren

Question

Aufgabe (Beweis mit Körper):

a) Seien \( v_{1}, \ldots, v_{m}, u_{1}, \ldots, u_{k} \in \mathbb{K}^{n} . \) Zeigen Sie:

$$ \begin{array}{l} \left\{\alpha_{1} v_{1}+\cdots+\alpha_{m} v_{m} \mid \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m} \in \mathbb{K}\right\} \subseteq\left\{\beta_{1} u_{1}+\cdots+\beta_{k} u_{k} \mid \beta_{1}, \ldots, \beta_{k} \in \mathbb{K}\right\} \\ \Longleftrightarrow \forall i \in\{1, \ldots, m\}: v_{i} \in\left\{\beta_{1} u_{1}+\cdots+\beta_{k} u_{k} \mid \beta_{1}, \ldots, \beta_{k} \in \mathbb{K}\right\} \end{array} $$

b) Zeigen Sie:

$$ \left\{\alpha_{1}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{l} 4 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{l} 7 \\ 8 \\ 9 \end{array}\right) \mid \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in \mathbb{Q}\right\}=\left\{\beta_{1}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)+\beta_{2}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \mid \beta_{1}, \beta_{2} \in \mathbb{Q}\right\} $$

Answer 1

Bei b) musst du zeigen, dass beide Vektorterme die gleiche Ebene beschreiben.

Da beide den Nullvektor enthalten, kannst du die drei linken Richtungsvektoren ala Ortsvektoren ansehen und mit dem rechten Term gleichsetzen.

Da alle drei Gleichungen aufgehen, beschreiben beide Terme die gleiche Menge an Vektoren.

:-)