Beweis: Körper und Vektorraum. f,g∈V ist f+g gegeben durch: (f+g)(a)=f(a)+g(a) für alle a∈A.

Question

Sei K ein Körper und A eine nicht-leere Menge. Es soll gezeigt werden, dass V := Abb(A,K) mit den folgenden Verknüpfungen ein K-Vektorraum ist:

Für f,g∈V ist f+g gegeben durch: (f+g)(a)=f(a)+g(a) für alle a∈A. Für r∈K und f∈V ist r·f gegeben durch: 

(r·f)(a)=r·f(a) für alle a∈A. 

Wie beweist man das?

Answer 1

Du musst alle Vektorraumaxiome prüfen.

Etwa so:  Addition muss assoziativ sein, also muss gelten

Für alle  f,g,h ∈V   (f+g)+h = f + ( h + g )

Damit diese beiden Abb'en gleich sind, muss für alle 

 x∈A gelten     ((f+g)+h )(x) =  (f + ( h + g ) ) (x)

Das kann man so zeigen: Sei x ∈A dann gilt

   ((f+g)+h )(x)     Nach Def. von + (s.Aufgabe)

= (f+g)(x)  +h(x)  nochmal

= (f(x)+g(x))  +h(x)   Ass. von + in K

= f(x)+(g(x)  +h(x))    Def. von +

= f(x)+ (g  +h) (x)    Def. von +

=   (f + ( h + g ) ) (x)      q.e.d.So musst du alle Axiome durchgehen. Ist viel (Schreib)arbeit.

Comments

i) a *(x+y) = ax + ay
ii) (a+x)*y = a*y + x*y
iii) (ax)*y = a*(xy)
iiii) 1*x =x

Dies sind die Axiome, die ich beweisen muss.

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und dass (V,+) eine kommutative Gruppe ist.

Dazu hatte ich dir das Ass.ges. als Beispiel vorgemacht.

Die anderen gehen entsprechend.

Etwa

a *(x+y)  = ax + ay

Hier also eher

a *(f+g) = a*f + a*g

Sei also x aus A

(a *(f+g))(x)     Def. von *

= a*((f+g)(x))   Def. von + 

= a*(f(x)+g(x))   Dist. in K

= a*f(x)+a*g(x)  Def von *

= (a*f)(x)+(a*g)(x) Def. von +

=(  a*f + a*g)(x)

Also für alle x aus A

(a *(f+g))(x)    =(  a*f + a*g)(x)und deshalb a *(f+g) = a*f + a*g .

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Wie beweist man dass (V, +) eine kommutative Gruppe ist?

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Gruppenaxiome prüfen.

Assoziativ habe ich oben vorgemacht.

neutrales El. ist die 0-Abbildung und

invers zu f ist -1*f 

(Musst du natürlich nachweisen.)

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Und wie soll ich das machen

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Vektorraumaxiome findest du dort

https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#DefinitionUnd dann alles so prüfen, wie ich es mit dem Assoziativgesetzund einem Distributivgesetz vorgemacht habe.