Aloha :)
Verwende Kugelkoordinaten für den Vektor \(\vec r\,'\) zum Differential \(dV'\), um das gesamte Volumen \(V\) der Hohlkugel abzutasten, also:$$\vec r\,'=\begin{pmatrix}R\cos\varphi\sin\vartheta\\R\sin\varphi\sin\vartheta\\R\cos\vartheta\\\end{pmatrix}\quad;\quad R\in[R_i;R_a]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in[0;\pi]$$
Wegen der Kugelsymmetrie des Problems, kannst du dir die Rechnung erheblich vereinfachen, wenn du den Vektor \(\vec r\) (ohne Strich) in Richtung der \(z\)-Achse legst, also \(\vec r=(0;0;r)\).
Das Integral sieht dann wie folgt aus:
$$\vec F=\iiint\limits_V\frac{\vec r-\vec r\,'}{\left\|\vec r-\vec r\,'\right\|^3}\,dV'$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^\pi \int\limits_{R_i}^{R_a}\frac{1}{(R^2\sin^2\vartheta+(r-R\cos\vartheta)^2)^{3/2}}\begin{pmatrix}-R\cos\varphi\sin\vartheta\\-R\sin\varphi\sin\vartheta\\r-R\cos\vartheta\\\end{pmatrix}\,R^2\sin\vartheta\,dR\,d\vartheta\,d\varphi$$
Das brauchst du jetzt "nur noch" auszurechnen ;)
