Kann mir das jemand bitte erklären?
Bin ich mit lokalen kubischen Hermin Interpolationen auf dem richtigen Weg?
Text erkannt:
Seien \( x_{0}, x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R} \) mit \( x_{0} \neq x_{2} . \) Zeigen Sie:
1. Es gibt eindeutige Polynome \( p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4} \) dritten Grades, welche den Bedingungen
$$ \begin{array}{lllll} p_{1}\left(x_{0}\right)=1 & p_{2}\left(x_{0}\right)=0 & p_{3}\left(x_{0}\right)=0 & p_{4}\left(x_{0}\right)=0 \\ p_{1}\left(x_{2}\right)=0 & p_{2}\left(x_{2}\right)=1 & p_{3}\left(x_{2}\right)=0 & p_{4}\left(x_{2}\right)=0 \\ p_{1}^{\prime}\left(x_{1}\right)=0 & p_{2}^{\prime}\left(x_{1}\right)=0 & p_{3}^{\prime}\left(x_{1}\right)=1 & p_{4}^{\prime}\left(x_{1}\right)=0 \\ p_{1}^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)=0 & p_{2}^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)=0 & p_{3}^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)=0 & p_{4}^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)=1 \end{array} $$
genügen.
2. Es existiert ein eindeutiges Polynom \( p \) dritten Grades, das für die Werte \( f_{0}, f_{2}, f_{1}^{\prime}, f_{1}^{\prime \prime} \) die Interpolationsaufgabe
$$ p\left(x_{0}\right)=f_{0}, \quad p\left(x_{2}\right)=f_{2}, \quad p^{\prime}\left(x_{1}\right)=f_{1}^{\prime}, \quad p^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)=f_{1}^{\prime \prime} $$
erfüllt.
