Hallo,
Der Ansatz \(L_k^n(t)\) oben ist die \(k\)'te Basisfunktion eines Lagrange-Polynoms. Im Allgemeinen sieht das so aus$$L_k^n(x) = \prod\limits_{i=0,\,i \ne k}^{n} \frac{x-x_i}{x_k-x_i}$$Wobei die \(x_k\) bzw. \(x_i\) die \(n+1\) Stützstellen sind, welche interpoliert werden sollen. Wenn nun die Stützstellen äquidistant sind, mit Abstand \(1\) und \(x_0=0\), so wäre in diesem Fall$$x_k=k, \quad \text{bzw.}\space x_i=i$$Der betrachtete Bereich wäre dann \([0,\,x_n] = [0,\,n]\), und wenn man den auf ein \(t\in [0,\,1]\) normiert, wird die freie Variable \(x=n \cdot t\). Setze ich das oben ein, so gibt das$$L_k^n(t) = \prod\limits_{i=0,\,i \ne k}^{n} \frac{n\cdot t-i}{k-i}$$also genau der Term aus Deinem Script.
Besonders verwirren mich die Punkte.
Ja - am besten musst Du es dann selber mal hinschreiben. Betrachten wir mal den einfachen Fall \(n=1\). Dann ist$$L_0^1(t) = \prod\limits_{i=0,\,i\ne 0}^1 \frac{t-i}{0-i} = \frac{t - 1}{0-1} = 1-t \\ L_{1}^1(t) = \prod\limits_{i=0,\,i\ne 1}^1 \frac{t-i}{1-i} = \frac{t-0}{1-0} = t$$Das ganze Polynom wäre hier $$P(t) = \sum\limits_{i=0}^n f_i \cdot L_i^n(t) = f_0 \cdot (1-t) + f_1\cdot t$$also eine lineare Interpolation durch zwei Punkte \((0|f_0)\) und \((1|f_1)\).
Schreiben wir nun den Fall für \(n=3\) und \(k=1\) ausführlich hin$$L_1^3(t) = \prod\limits_{i=0,\,i\ne 1}^3 \frac{3t-i}{1-i}\\ \phantom{L_1^3(t)} = \frac{3t-0}{1-0} \cdot \frac{3t-2}{1-2} \cdot \frac{3t-3}{1-3} = \frac{3t(3t-2)(3t-3)}{2}$$Wie Du siehst 'fehlt' dort der Term $$\quad \frac{3t-1}{1-1} \to ?$$der ja auch keinen Sinn macht, da im Nenner eine \(0\) stände. Das ist vielleicht der Grund für die verwirrenden Punkte. Im Prinzip ist$$L_{k}^n(t) \approx \frac{(nt-0)(nt-1) \cdot \dots \cdot (nt-(n-1))(nt-n)}{(k-0)(k-1)\dots (k-(n-1))(k-n)}$$also der hintere Teil in jedem Faktor des jeweiligen Produkts in Zähler und Nenner wird immer von \(0\) bis \(n\) durchgezählt. $$\quad 0, \quad 1, \dots \quad (n-1), \quad n$$ Nur der Term, bei dem \(i=k\) ist, der entfällt.
Um diesen fehlenden Term darzustellen, ist das in der Mitte eingefügt worden$$L_{k}^n(t)= \frac{(nt-0)(nt-1) \dots {\color{red}(nt-(k-1))(nt-(k+1))} \dots (nt-(n-1))(nt-n)}{(k-0)(k-1)\dots {\color{red} (k-(k-1))(k-(k+1)) } \dots (k-(n-1))(k-n)}$$Falls Du noch Frage hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
