Bestimmung Polynom dritten Grades

Question

Aufgabe:

Interpolation mit Polynomen:

Bestimmen Sie mit einer Methode ihrer Wahl dasjenige Polynom dritten Grades, das mit der Funktion f(x) \( \frac{x^{4}}{2} \)  an den Stellen x0 = -2; x1= -1; x2= 1; x3= 2 übereinstimmt.

Ich habe mich für das Newton Verfahren entschieden

Problem/Ansatz:

	x0	x1	x2	x3
x	-2	-1	1	2
y	8	0,5	0,5	8
	y0	y1	y2	y3

y0 bis y3 mit der Funktion von f(x) oben besitmmt.

Danach würde ich wie folgt vorgehen:

y0=a0 =2

y1=a0+a1(x1-x0)… => 2+a1(-1-(-2) => a1 = \( \frac{(-1-(-2)}{2} \)) = \( \frac{1}{8} \) = 0,125

y2=a0+a1(x2-x0)+a2*(x2-x0)(x2-x1)

y3= usw....

Danach die Newton'sche Interpolationformel anwenden:

p(x) = a0+a1(x2-x0)+a2*(x2-x0)(x2-x1)+a3..............

Dann kommt diese Formel zum Einsatz : f(x) = ax³+bx²+cx+d ?

Die Frage: Ist diese Vorgehensweise korrekt ?

Comments

dasjenige Polynom dritten Grades

Ist vielleicht eher "höchstens dritten Grades" gemeint?

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Die Frage: Ist diese Vorgehensweise korrekt ?

korrekt Ja - aber in diesem konkretenFall unnötig aufwändig. \(x^4/2\) ist eine gerade Funktion und die 4 Stützstellen liegen symmetrisch zu \(x=0\) - also muss das (minimale) Polynom durch diese vier Punkte ebenso gerade sein. Das allgemeine kubische und gerade(!) Polynom ist aber$$p(x)= 0\cdot x^3+bx^2+0\cdot x+d$$d.h es ist lediglich diese LGS mit den zwei Parametern \(b\) und \(d\) zu lösen:$$\left(1\right)^2 b + d = \frac{1^{4}}{2} \\ \left(2\right)^2 b + d = \frac{2^{4}}{2}$$

Answer 1

Eine Zusammenfassung verschiedener Methoden

https://www.geogebra.org/m/yuhthgjg

Sieht jetzt nicht nach Newton aus, jedenfalls nicht von Anfang an?

Da wären die Linearfaktoren

\(N(k) \, :=  \, \prod\limits_{j=1}^{k - 1}x - X\left(j \right)\)

also

\(N_i \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&x + 2&x^{2} + 3 \; x + 2&x^{3} + 2 \; x^{2} - x - 2\\\end{array}\right)\)

zusammengesetzt

\(P_c\left(x \right) = \sum\limits_{i=1}^{n}c_i \; N\left(i \right)\)

gibt

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&3&6&0\\1&4&12&12\\\end{array}\right) \, \left(\begin{array}{r}c_0\\c_1\\c_2\\c_3\\\end{array}\right)   = \left(\begin{array}{r}8\\\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\8\\\end{array}\right)\)