Interpolation mit quadratischen Polynom

Question

Aufgabe:

Es sei eine Funktion \( f \in C^{3}(\mathbb{R}) \) und Zahlen \( x_{0}, h \in \mathbb{R} \) gegeben.
a) Bestimmen Sie das quadratische Polynom \( p \in \Pi_{2} \) in Newton-Darstellung, so dass die Interpolationsbedingungen
p(x_i) = f(x_i) für i = 0,1,2 mit x₁ = x₀ + h und x₂ = x₀ + 2h erfüllt sind.

Problem:

Ich benötige doch hier 3 gegebene Punkte für ein Polynom 2.-ten Grades, oder nicht? Aber habe nur zwei Punkte gegeben... Was übersehe ich hier?

Besten Dank :)

Comments

Die Stützstellen sind x₀, x₀ + h, x₀ + 2h. Zusammen sind das drei, wenn h ≠ 0 ist.

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Ah, okay, vielen Dank. Jetzt habe ich es hinbekommen.

Weitere Frage: Bei einer weiteren Teilaufgabe habe ich jetzt die 2. Ableitung von p bestimmt. Aber bei folgender Teilaufgabe hakt es wieder bei mir:

c) Zeigen Sie
|p''(x₀)-f''(x₀)| ist kleiner gleich C ||f⁽³⁾|| h
mit einer geeigneten Konstante C>0 und ||.|| die unendlich Norm ist. Geben Sie die Konstante C an.

Wie gehe ich hier vor?

Answer 1

Ansatz :  p(x)=a+b(x-xo)+c(x-xo)(x-x1)

Gibt 3 Gleichungen für a,b,c:

p(xo)=f(xo)=a

p(x1)=f(x1)= a+b(x1-xo) = f(xo)+b(x1-xo)

      ==>  f(x1)= f(xo)+b*h

         ==>  f(xo+h)- f(xo)  =  b h

               ==>  ( f(xo+h)- f(xo) ) / h  =  b

p(x2)=f(x2)= a+b(x1-xo) + c(x2-xo)(x2-x1)

 ==>         f(xo+2h)= a+b*h + c*2h*h

==>       f(xo+2h)= f(xo) +(  ( f(xo+h)- f(xo) ) / h )*h + c*2h*h

==>      f(xo+2h)= f(xo) + f(xo+h)- f(xo)  + c*2h^2 

==>      f(xo+2h)-  f(xo+h) =  c*2h^2

==>     ( f(xo+2h)- f(xo+h) )  (2h^2)  =  c

==>

p(x) = f(xo) +  ( f(xo+h)- f(xo) )(x-xo) / h +  ( f(xo+2h)- f(xo+h) ) (x-xo)/(2h^2)