Durchschnittliche Änderungsrate kann nicht höher sein, als die höchste lokale Änderungsrate

Question

Liebe Lounge,

eine Frage, die intuitiv klar ist, sucht einen Beweis:

Behauptung: Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion auf einem beliebigen Intervall I aus dem Definitionsbereich kann nicht betragsmäßig größer sein, als die betragsmäßig größte lokale Änderungsrate.

Diese Aussage ist ja augenscheinlich korrekt. Was ist der Beweis dahinter?

Danke.

LG

Kombi

Answer 1

Das geht wohl mit dem Mittelwertsatz.

Intervall [a,b] und Funktion f mit den üblichen Vor'en:

   durchschnittl. Änd. rate

                   ( f(b) - b(a) ) /   (b-a )

laut. Mittelwertsatz gibt es in [a,b] ein t mit

                      ( f(b) - b(a) ) /  (b-a ) = f ' (t)

und f ' (t) ist ja die lokale Änd.rate .