Taylorpolynom und Entwicklungsstelle

Question

Die Funktion $f:]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\rightarrow \boldsymbol{R}$ sei gegeben durch $f(x)=\ln (\cos (-x))$.

a) Bestimmen Sie das zugehörige Taylorpolynom 2 - ten Grades mit Entwicklungsstelle $x_{0}=0$

b) Fehlerschabschätzung: Zeigen Sie (ohne Nutzung des Taschenrechners, d.h. mit vollständigem Rechenweg auf Papier), dass $\left|R_{2}(x)\right|<2 / 3$ für $x \in[-\pi / 4, \pi / 4]$ gilt, wobei $R_{2}(x)$ das Lagrangesche Restglied ist.

Answer 1

Zur a)

f(x) = ln(cos(-x))     

f'(x) = -tan(x)

f''(x) = -1/cos²(x)

 

Für x = 0 ergibt nur f''(1) = -1 einen Wert ≠0.

In die Taylorformel eingesetzt:

T = -x²/2

 

b) Ist bei mir zu lange her, als dass ich mich erinnern könnte. Aber ich denke das ist durchaus selbst machbar. Ein Blick ins Skript/Vortragsübung sollte helfen!

Comments

Kann man bei a das angegebene Intervall außer acht lassen oder inwiefern beachtest du das in deiner Rechnung?

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Ja, prinzipiell wird das letztlich nicht mit einbezogen. Das Intervall.

Die Näherung bezieht sich halt nur auf dieses Intervall. Darüber hinaus ist die Näherung (unbelassen wie oben) nicht mehr zu gebrauchen.