Bestimmen sie in ℂ die vollständige Lösungsmenge von:

Question

ich habe folgende Aufgabe bekommen:
-- Anmerkung: z° bedeutet die komplexe Konjugation von z

Bestimmen sie in ℂ die vollständige Lösungsmenge von:
a)  z² = i*z°
b)  z² + z*z ° = 2
c)  z*z ° - 5z = -10i

Konkret weiß ich nicht wie ich mit der Konjugierten von z umgehen soll. Kann ich die Gleichung trotzdem einfach mit der Mitternachstformel oder der pq-Formel lösen?
Was schreibe ich für z*z ° , das Ergebnis sollte ja |z|² sein, wie gehe ich jedoch mit dem nun in der Gleichung um?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Hallo,

Setze:

z=x+iy

z°=x-iy

a)z^2 = i z°

(x+iy)^2= i(x-iy)

x^2 +2 ixy-y^2= ix +y

Vergleich Realteil:

1)x^2 -y^2= y

Vergleich Imaginärteil:

2) 2xy= x

Löse das GL.system

---------->

2) 2xy= x

2xy -x=0

x(2y-1)=0

Satz vom Nullprodukt:

x=0

2y-1=0

y=1/2

einsetzen in 1

usw.

Lösung:

\( \begin{array}{rlr}x=0, & y=-1 \\ x=0, & y=0 \\ x=\frac{\sqrt{3}}{2}, & y=\frac{1}{2} \\ x=-\frac{\sqrt{3}}{2}, & y=\frac{1}{2}\end{array} \)

analog b und c