Zeigen Sie, dass (G \ {0}, ·) eine Untergruppe von (ℂ \ {0}, ·) ist.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die folgende Teilmenge von ℂ:
G := {a + b√3i | a, b ∈ Q}
Zeigen Sie, dass (G \ {0}, ·) eine Untergruppe von (ℂ \ {0}, ·) ist.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist dass man in diesem Fall das Untergruppenkriterium verwenden kann, um zu beweisen, dass G eine Untergruppe von ℂ ist.

Dafür müssen ja bekanntlich die Folgenden Bedingungen erfüllt sein:
1.) U ≠ ∅

2.) u*v^-1 ∈ G für alle u, v^-1 ∈ G

Wie ich 1. zeige ist mir klar, dass ist logisch, aber mir fehlt der Ansatz für 2. Mein Gedanke war diesbezüglich, dass man dort auch die Beweise für Abgeschlossenheit und Inverses verwenden kann. Oder geht das auch einfacher? Kann mir da jemand vielleicht eine Lösung geben?

Answer 1

dass man dort auch die Beweise für Abgeschlossenheit und Inverses verwenden kann. Oder geht das auch einfacher?

Kann man, da das Äquivalent dazu ist. Allerdings heißt es: \(u\circ v^{-1}\in G\) für alle \(u, v\in G\).

Überlege dir mal, was das neutrale Element ist und wie dann das Inverse aussehen muss. Damit kannst du das Kriterium dann nachweisen.

Comments

Also das neutrale Element ist aufgrund der Multiplikation ja 1, und das Inverse ist doch 1/a+b√3i bzw. (a-b√3i)/(a+3b²). Ist das richtig?

---

Im Nenner auch \(a^2\). Dann stimmts.

---

achso ja das habe ich in meinen Aufzeichnungen auch so, nur hier falsch abgetippt, vielen Dank für deine Hilfe :)