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Vollständige Induktion mit Produkt:

sei αk≠0 für k∈ℕ Dann gilt k=1n \prod_{k=1}^{n}{}   αk+1/αk= αn+1/α1

(Leider hat bei mir die Darstellung des Bruches mit Alpha nicht funktioniert, deswegen die herkömmliche Schreibweise)


Nach langem herumprobieren, komme ich auf kein Muster welches zum gewünschten Ergebnis führt.

Bin Für jede Hilfe dankbar LG

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Gibt es noch eine Aussage zu aka_k? Für ein allgemeines ak>0a_k\gt0 gilt das sicher nicht.

Du musst \(\frac{\alpha}{\alpha}\) αα\dfrac{\alpha}{\alpha} schreiben anstatt das Zeichen zu verwenden, sonst geht es nicht.

@Werner-salomon Nein lediglich sei αk≠0 für k∈ℕ

@Doesbaddel

lediglich sei αk≠0 für k∈ℕ

OK - dann nehme man mal ak=ka_k = k und n=3n=3, also a1,2,3={1,2,3}a_{1,2,3} = \{1,2,3\}, und schon ist k=1nk+1k=5033+11=4\prod_{k=1}^n k + \frac 1k = \frac {50}3 \ne 3 + \frac 11 = 4das passt nicht!

@Felix: Es lässt sich mit diesen Angaben nicht einmal ein einfacher Induktionsanfang mit zwei Faktoren und a1=2 sowie a2=3 herstellen.

@Felix: kann es sein, dass Du nicht weißt, dass Punktrechnung (also geteilt) vor Strichrechnung (also plus) kommt??

ich glaube nicht das das ganze αk durch eine zahl ersetzt werden darf, sondern die Zahlen nur für das k eingesetzt werden dürfen und somit nur mit den Platzhaltern gerechnet wird.

ich glaube nicht das das ganze αk durch eine zahl ersetzt werden darf, sondern die Zahlen nur für das k eingesetzt werden dürfen und somit nur mit den Platzhaltern gerechnet wird.

So macht es aber keinen Sinn. Wenn da drei Elemente a1a_1, a2a_2 und a3a_3 sind (n=3n=3), dann verschwindet das a2a_2 auf der linken Seite nie. Auf der rechten Seite aber sehr wohl.

Solange man keine Aussage machen kann, wie die drei zusammen hängen, solange ist das immer ungleich!

Und wenn es nicht mit Zahlen geht, mit was soll es dann sonst gehen?

Heißt es k=1nak+1ak=an+1a1\prod_{k=1}^n a_k + \frac 1{a_k} = a_n + \frac 1{a_1}oder heißt es k=1nak+1ak=an+1a1\prod_{k=1}^n \frac {a_k + 1}{a_k} = \frac {a_n + 1}{a_1}??

Oder k=1nαk+1αk=αn+1α1\prod_{k=1}^n \frac{\alpha_{k + 1}}{\alpha_k} = \frac {\alpha_{n + 1}}{\alpha_1}

Ihr solltet nicht so viel hineingeheimnissen sondern einfach erkennen, dass es sich um ein Teleskopprodukt handelt.

WENN

1.) die zweite Variante aus meinem letzten Kommentar die richtige ist

und WENN

2.) immer ak+1=ak+1a_{k+1} = a_{k} + 1 gilt,

DANN ist es gleich und auch einfach zu zeigen.

Ja genau die Zweite Version ist die Aufgaben Stellung Sorry wegen der Verwirrung.

Wie genau würdest du dann vorgehen?

@hj2166 Ja, genau. Das meinte ich

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Hallo Felix,

Gezeigt werden soll, dass k=1nak+1ak=an+1a1,mit ak+1=ak+1\prod_{k=1}^n \frac {a_k + 1}{a_k} = \frac {a_n + 1}{a_1}, \quad \text{mit } a_{k+1} = a_k + 1Für n=1n=1 ist das trivial zu zeigen. Nun noch der Schritt von nn nach n+1n+1: k=1n+1ak+1ak=(k=1nak+1ak)an+1+1an+1=an+1a1an+1+1an+1an+1=an+1=an+1a1an+1+1an+1=an+1+1a1q.e.d.\begin{aligned} \prod_{k=1}^{n+1} \frac {a_k + 1}{a_k} &= \left( \prod_{k=1}^n \frac {a_k + 1}{a_k} \right) \cdot \frac{a_{n+1} + 1}{a_{n+1}} \\ &= \frac {a_n + 1}{a_1} \cdot \frac{a_{n+1} + 1}{a_{n+1}} &&\left|\, a_{n+1} = a_n + 1\right. \\ &= \frac {a_{n+1}}{a_1} \cdot \frac{a_{n+1} + 1}{a_{n+1}} \\ &= \frac{a_{n+1} + 1}{a_1} \\ &\text{q.e.d.} \end{aligned}

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