Aloha :)
Wir starten mit der bijektiven Abbildung:f : [0;1]→[0;1],x↦xAus der Zielmenge wollen wir die beiden Randpunkte rausnehmen, um die gewünschte Bijektion zu konstruieren. Daher müssen wir uns etwas für die Funktionswerte f(0)=0 und f(1)=1 überlegen. Wir setzen daher
f(0)=1−31=32undf(1)=31=31Jetzt ist f aber nicht mehr injektiv, es sei denn, wir setzen die vorigen Werte f(32) und f(31) woanders hin. Zum Beispiel können wir festlegen:
f(32)=1−91=98undf(31)=91Jetzt ist f aber nicht mehr injektiv, es sein denn, wir legen die vorigen Werte f(98) und f(91) woanders hin. Zum Beispiel können wir festlegen:f(98)=1−271=2726undf(91)=271Jetzt ist f aber nicht mehr injektiv, es sei denn...
Damit haben wir eine bijektive Abbildung b konstruiert:b : [0;1]→(0;1),x↦⎩⎪⎨⎪⎧1−3n+113n+11xfallsfallssonstx=1−3n1x=3n1 fu¨r ein n∈N0 fu¨r ein n∈N0