Folgende Funktion wird betrachtet:
\( f(x)=\ln (2 x+1) \)
a) Schrittweise Skizzierung der Funktion f(x), indem mit der zugrundeliegenden Funktion g(x)= ln(x) begonnen wird und dann die entsprechenden Transformationen nachvollzogen werden.
b) Welchen Definitions- und welchen Wertebereich hat f(x) ?
c) Für welche x ist f umkehrbar? Berechnung der Umkehrfunktion f-1 von f.
d) Skizzierung der Graphen von f(x) und f-1(x).
e) Berechnung der Ableitung zuerst von f-1(x) und dann damit die Ableitung von f(x).
f) Skizzierung der Graphen der Ableitungen df(x)/dx und df-1(x)/dx.
\( \frac{d f(x)}{d x} \) und \( \frac{d f^{-1}(x)}{d x} \)
Unten habe ich Lösungsansätze verfasst. Wenn etwas nicht korrekt sein sollte, bitte ich um Korrektur.
Lösungsansätze:
\( f(x)=\ln (2 x+1) \)
\( f^{\prime}(x)=\frac{2}{(2 x+1)} \)
\( f^{\prime \prime}(x)=\frac{-4}{\left(4 x^{2}+4 x+1\right)} \)
\( D B: x \in R \)
\( W B: x \in R \)
\( x=\frac{e^{y}-1}{2} \) oder \( \frac{1}{2}\left(e^{y}-1\right) \)
\( f^{\prime-1}=\frac{e^{y}}{2} \)
