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Folgende Funktion wird betrachtet:

\( f(x)=\ln (2 x+1) \)

a) Schrittweise Skizzierung der Funktion f(x), indem mit der zugrundeliegenden Funktion g(x)= ln(x) begonnen wird und dann die entsprechenden Transformationen nachvollzogen werden.

b) Welchen Definitions- und welchen Wertebereich hat f(x) ?

c) Für welche x ist f umkehrbar? Berechnung der Umkehrfunktion f-1 von f.

d) Skizzierung der Graphen von f(x) und  f-1(x).

e) Berechnung der Ableitung zuerst von f-1(x) und dann damit die Ableitung von f(x).


f) Skizzierung der Graphen der Ableitungen df(x)/dx und df-1(x)/dx.

\( \frac{d f(x)}{d x} \) und \( \frac{d f^{-1}(x)}{d x} \)


Unten habe ich Lösungsansätze verfasst. Wenn etwas nicht korrekt sein sollte, bitte ich um Korrektur.


Lösungsansätze:

\( f(x)=\ln (2 x+1) \)
\( f^{\prime}(x)=\frac{2}{(2 x+1)} \)
\( f^{\prime \prime}(x)=\frac{-4}{\left(4 x^{2}+4 x+1\right)} \)
\( D B: x \in R \)
\( W B: x \in R \)
\( x=\frac{e^{y}-1}{2} \) oder \( \frac{1}{2}\left(e^{y}-1\right) \)
\( f^{\prime-1}=\frac{e^{y}}{2} \)


skizze

ln3

Avatar von

Zum Definitionsbereich :

ln(2x+1)
2x + 1 > 0
2x > -1
x > -1/2

siehe deine eigene Skizze.

1 Antwort

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Beste Antwort
DB von f(x):

ln(2x+1) existiert, wenn 2x+1 > 0
d.h.

2x > -1

x> -0.5

DB= { x Element R | x> -0.5}
Da f streng monoton steigend:

WB der Umkehrfunktion auch  { x Element R | x> -0.5}
Rest und Graphen sehen ok. aus.

f^{-'} sieht unklar aus. Gib dieser Umkehrfunktion einen Namen. Bsp. f^{-1} (x) = g(x) = (e^x -1)/2

Dann g'(x) = e^x / 2
Versuche vielleicht zur Kontrolle noch die Funktion und die Umkehrfunktion zusammen mit y=x, y = -0.5 und x= -0.5 alles ins gleiche Koordinatensystem zu zeichnen. Z.B. damit https://www.matheretter.de/tools/funktionsplotter/
Avatar von 162 k 🚀

Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich werde nochmals die Funktion sowie die Umkehrfunktion im Koordinatensystem einzeichnen.

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