+1 Daumen
3,2k Aufrufe

Folgende Funktion wird betrachtet:

\( f(x)=\ln (2 x+1) \)

a) Schrittweise Skizzierung der Funktion f(x), indem mit der zugrundeliegenden Funktion g(x)= ln(x) begonnen wird und dann die entsprechenden Transformationen nachvollzogen werden.

b) Welchen Definitions- und welchen Wertebereich hat f(x) ?

c) Für welche x ist f umkehrbar? Berechnung der Umkehrfunktion f-1 von f.

d) Skizzierung der Graphen von f(x) und  f-1(x).

e) Berechnung der Ableitung zuerst von f-1(x) und dann damit die Ableitung von f(x).


f) Skizzierung der Graphen der Ableitungen df(x)/dx und df-1(x)/dx.

\( \frac{d f(x)}{d x} \) und \( \frac{d f^{-1}(x)}{d x} \)


Unten habe ich Lösungsansätze verfasst. Wenn etwas nicht korrekt sein sollte, bitte ich um Korrektur.


Lösungsansätze:

\( f(x)=\ln (2 x+1) \)
\( f^{\prime}(x)=\frac{2}{(2 x+1)} \)
\( f^{\prime \prime}(x)=\frac{-4}{\left(4 x^{2}+4 x+1\right)} \)
\( D B: x \in R \)
\( W B: x \in R \)
\( x=\frac{e^{y}-1}{2} \) oder \( \frac{1}{2}\left(e^{y}-1\right) \)
\( f^{\prime-1}=\frac{e^{y}}{2} \)


skizze

ln3

von

Zum Definitionsbereich :

ln(2x+1)
2x + 1 > 0
2x > -1
x > -1/2

siehe deine eigene Skizze.

1 Antwort

+2 Daumen
 
Beste Antwort
DB von f(x):

ln(2x+1) existiert, wenn 2x+1 > 0
d.h.

2x > -1

x> -0.5

DB= { x Element R | x> -0.5}
Da f streng monoton steigend:

WB der Umkehrfunktion auch  { x Element R | x> -0.5}
Rest und Graphen sehen ok. aus.

f^{-'} sieht unklar aus. Gib dieser Umkehrfunktion einen Namen. Bsp. f^{-1} (x) = g(x) = (e^x -1)/2

Dann g'(x) = e^x / 2
Versuche vielleicht zur Kontrolle noch die Funktion und die Umkehrfunktion zusammen mit y=x, y = -0.5 und x= -0.5 alles ins gleiche Koordinatensystem zu zeichnen. Z.B. damit https://www.matheretter.de/tools/funktionsplotter/
von 159 k 🚀

Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich werde nochmals die Funktion sowie die Umkehrfunktion im Koordinatensystem einzeichnen.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community