Begründen Sie das Grenzverhalten des Graphen von f für x → + - anhand des Funktionsterm

Question

Aufgabe:

Begründen Sie das Grenzverhalten des Graphen von f für x → + - anhand des Funktionsterm

Problem/Ansatz:

Gegeben Funktion f mit 1/4 x Hoch 3 - 3X Hoch 2 + 9X

Ich habe die Lösungen bereits. Kann mir jemand erklären wie das funktioniert?

Lösung:

X →  + ∞    Y = f(X) = 1/4 x Hoch 3 → + ∞

X →  - ∞    Y = f(X) = 1/4 x Hoch 3 → - ∞

Answer 1

Hallo

eigentlich weisst du, dass die höchste Potenz von x immer am schnellsten steigt, d.h, wenn du x³ und der funktion hast  und dann noch x² und x , dann spielen für große x  die Terme mit x² und x keine Rolle mehr, die Funktion wächst  im wesentlichen wie x³, wenn x⁵ der höchste Exponent wäre dann würde x³ keine Rolle mehr spielen.

Wenn dich das nicht überzeugt, setz einfach mal große Zahlen für x ein

10000 eingesetzt in  f(x)=1/4x³+3x²+9x:  f(10000)=1/4*1000000000000 +3*100000000 +90000=250.299.910.000

1/4*10000³ allein ist 250.000.000.000 also die 2 hinteren Summanden ändern an den ersten 3 Stellen nichts mehr,

wenn du 10⁶ statt 10⁴ einsetzt wenn du statt +3x²  -3x² einsetzt ändert sich wenig dann kommt 249.700.090.000 raus.

klar?

Gruß lul

Comments

Hi,

ich habe es an sich verstanden, aber ich weiß noch immer nicht wann ein - vor dem ∞ kommt und wann ein +. Könntest du es anhand von Beispielen erklären?

Gruß

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Hallo

x³ ist für negative x negativ, also da x³ "herrscht" geht es gegen -oo

stünde da statt x³ x⁵ wäre es genauso, stünde aber x⁴ dann ginge es nach +oo denn x⁴ ist immer positiv, auch wenn x negativ ist

Gruß lul

Answer 2

ich interpretiere

"Gegeben Funktion f mit 1/4 x Hoch 3 - 3X Hoch 2 + 9X"

mal als

$\frac{1}{4}x^3 - 3x^2 + 9x$.

Wir sollen also nun zeigen, dass die Funktion $f(x)$ für $x \to \infty$ gegen $\infty$ geht und für $x \to -\infty$ gegen $-\infty$ geht.

Das heißt, wir müssen die Funktion also irgendwie erstmal kennenlernen und verstehen, wie denn der Graph von ihr aussieht.

Das heißt, wie bilden erstmal die Ableitung von $f(x)$ und berechnen dadurch die Nullstellen. (Zwischenergebnis: $x_1 = 2$ und $x_2 = 6$ sind die gesuchten Nst.)

Als nächstes dann die zweite Ableitung, um die Nullstellen charakterisieren zu können. Dabei stellen wir fest, dass $x_1 = 2$ ein Maximum und $x_2 = 6$ ein Minimum ist.

Wenn du dir die Punkte jetzt in ein Koordinatensystem einzeichnest und diese richtig miteinander verbindest (also eine Skizze vom Graphen erstellst), dann wirst du erkennen und begründen können, dass $f(x) \stackrel{x \to \infty}{\to} \infty$ und $f(x) \stackrel{x \to -\infty}{\to}-\infty$.

Lg

Comments

Hi,

danke! Ich habe es verstanden.

Gruß