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Nutzenfunktion:

u(x1,x2)= x1^0,5*x2^0.75

p1= 5 p2=0.5

I= 210

Optimieren sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Budgetrestriktion.

Wie hoch ist die Menge x2 in diesem Nutzenoptimum?

Ich habe es jetzt schon mehrmals gerechnet und komme immer auf das falsche Ergebnis... ich komme bei x auf 16.8 und bei y auf 630, dann gebe ich es in die Nutzenfunktion und es ist falsch.

RIchtige Lösung: 252

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Aloha :)

Wir sollen die Nuzterfunktion \(u(x,y)\) unter der Nebenbedingung \(g(x,y)\) optimieren:$$u(x,y)=x^{0,5}\cdot y^{0,75}\quad;\quad g(x,y)=5x+0,5y-210=0$$Nach Lagrange müssen im Extremum die Gradienten der Funktion \(u\) und der Funktion \(g\) kollinear sein. Bei 2 Dimensionen bzw. 2 Variablen bedeutet dies, dass die beiden Gradienten parallel oder antiparallel sein müssen. Der Proportionaliätsfaktor ist der "Langrange-Multiplikator" \(\lambda\):$$\operatorname{grad}u(x,y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x,y)\quad\Rightarrow\quad\binom{0,5x^{-0,5}y^{0,75}}{0,75x^{0,5}y^{-0,25}}=\lambda\binom{5}{0,5}$$Die beiden Gradienten sind genau parallel oder antiparallel, wenn sie keine Fläche aufspannen, wenn also ihre Determinante gleich null ist:

$$0\stackrel!=\begin{vmatrix}0,5x^{-0,5}y^{0,75} & 5\\0,75x^{0,5}y^{-0,25} & 0,5\end{vmatrix}=0,25x^{-0,5}y^{0,75}-3,75x^{0,5}y^{-0,25}$$$$\phantom{0}=0,25x^{-0,5}y^{-0,25}\left(\frac{0,25x^{-0,5}y^{0,75}}{0,25x^{-0,5}y^{-0,25}}-\frac{3,75x^{0,5}y^{-0,25}}{0,25x^{-0,5}y^{-0,25}}\right)$$$$\phantom{0}=0,25x^{-0,5}y^{-0,25}\left(y-15x\right)$$Da die Vorfaktoren \(x^{-0,5}\) und \(y^{-0,25}\) nur für \(x,y>0\) definiert sind, ist die einzige Möglichkeit, wie diese Determinante zu null werden kann, wenn gilt:$$y=15x$$

Das brauchen wir nur noch in die Nebenbedingung einzusetzen, um \(x\) und \(y\) zu bestimmen:

$$0=g(x,15x)=5x+7,5x-210\quad\Rightarrow\quad12,5x=210\quad\Rightarrow\quad \boxed{x=16,8}$$$$0=g\left(\frac{y}{15},y\right)=\frac{y}{3}+\frac{y}{2}-210\quad\Rightarrow\quad\frac{5}{6}y=210\quad\Rightarrow\quad \boxed{y=252}$$

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Dein x1 = 16.8 ist richtig

Löse dann 5·x1 + 0.5·x2 = 210 einfach nach x2 auf. Wie kommst du auf 630?

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Vielen Dank ich habe meinen Fehler gefunden! Ich habe falsch abgeschrieben und statt 0,5x2 0.2x2 geschreiben.

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