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Aufgabe:

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet
U(x1,x2)= (x10.4+x20.4) 1/0.4 . Gegeben sind die Preise
der beiden Güter p1 = 2 und p2 = 1 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I = 240.
Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Budgetrestriktion.

a) Wie hoch ist die Menge x1 in diesem Nutzenoptimum?

b) Wie hoch ist die Menge x2 in diesem Nutzenoptimum?

c) Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator λ im Nutzenoptimum?

d) Wie hoch ist das maximal zu erreichende Nutzenniveau unter gegebener Budgetrestriktion?

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen?

Meine Lagrange-Funktion wäre:

L= (x₁0.4+x₂0.4)1/0.4+λ(240-2x₁-x₁)

Leider bekomme ich die partielle Ableitung nicht richtig hin.

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Hier geht es darum, eine Funktion$$U(x;y)=\left(x^{0,4}+y^{0,4}\right)^{\frac{1}{0,4}}=\left(x^{\frac25}+y^{\frac25}\right)^{\frac52}\to\text{Optimum}$$unter einer konstanten Nebenbedingung$$g(x;y)=2x+y\stackrel!=240$$zu optimieren.

Nach Lagrange muss in einem Optimum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, heißt das:$$\operatorname{grad}U(x;y)\stackrel!=\lambda\cdot\operatorname{grad} g(x;y)\quad;\quad\lambda\ne0$$Der Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) darf natürlich nicht Null sein, denn dann würden wir die Nebenbedingung ignorieren und das Optimum ohne Nebenbedinung bestimmen.

Zur Bestimmung der partiellen Ableitungen von \(U\) verwenden wir die Kettenregel:$$\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\pink{x^{\frac25}}+y^{\frac25}\right)^{\frac52}=\frac52\left(\pink{x^{\frac25}}+y^{\frac25}\right)^{\frac32}\cdot\pink{\frac25x^{-\frac35}}=\left(x^{\frac25}+y^{\frac25}\right)^{\frac32}x^{-\frac35}$$$$\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{\frac25}+\pink{y^{\frac25}}\right)^{\frac52}=\frac52\left({x^{\frac25}}+\pink{y^{\frac25}}\right)^{\frac32}\cdot\pink{\frac25y^{-\frac35}}=\left(x^{\frac25}+y^{\frac25}\right)^{\frac32}y^{-\frac35}$$

Damit können wir die Lagrange-Forderung formulieren:$$\begin{pmatrix}\left(x^{\frac25}+y^{\frac25}\right)^{\frac32}x^{-\frac35}\\[1ex]\left(x^{\frac25}+y^{\frac25}\right)^{\frac32}y^{-\frac35}\end{pmatrix}=\lambda\cdot\binom{2}{1}$$Um den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) zunächst loszuwerden, dividieren wir die Gleichung für die erste Koordinate durch die Gleichung für die zweite Koordinate:$$\frac{\cancel{\left(x^{\frac25}+y^{\frac25}\right)^{\frac32}}x^{-\frac35}}{\cancel{\left(x^{\frac25}+y^{\frac25}\right)^{\frac32}}y^{-\frac35}}=\frac{\cancel{\lambda}\cdot2}{\cancel{\lambda}\cdot1}\implies\frac{x^{-\frac35}}{y^{-\frac35}}=2\implies\left(\frac xy\right)^{-\frac35}=2\implies$$$$\left(\frac yx\right)^{\frac35}=2\implies\frac yx=2^{\frac53}=\sqrt[3]{2^5}=\sqrt[3]{32}\implies\color{blue}y=\sqrt[3]{32}\cdot x$$

Damit ist das Optimierungsproblem gelöst. Wir setzen die blaue Lagrange-Bedingung in die Nebenbedingung ein und erhalten:$$240=2x+y=2x+\sqrt[3]{32}x=\left(2+\sqrt[3]{32}\right)x\implies \color{blue}x=\frac{240}{2+\sqrt[3]{32}}\approx46,3786$$Weiter finden wir:$$240=2{\color{blue}x}+y\implies \color{blue}y=240-\frac{480}{2+\sqrt[3]{32}}\approx147,2428$$

Den Lagrange-Multiplikator lesen wir aus der Lagrange-Bedingung für die 2-te Komponente des Gradienten ab:$$\color{blue}\lambda=\left(x^{\frac25}+y^{\frac25}\right)^{\frac32}y^{-\frac35}\approx2,080969$$

Als maximales Nutzenniveau erhalte ich \(\color{blue}U_{\text{max}}\approx499,433\).

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Kann es sein, dass du dich verrechnet hast? Ich bekomme λ=2,08 heraus.

Danke, dein Rechenweg hat mir sehr geholfen.

\(\lambda=2,08\) ist richtig. Ich hatte mich irgendwie beim Taschenrechner vertippt. Habe es korrigiert.

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1/0.4 = 2,5 und x2 in der L-Fkt.

\(  \frac{dL}{dx_1} = 2,5\cdot (x_1^{0,4} +x_2^{0,4})^{1,5}\cdot 0,4 \cdot x_1^{-0,6}-2\lambda \)

\(  \frac{dL}{dx_2} = 2,5\cdot (x_1^{0,4} +x_2^{0,4})^{1,5}\cdot 0,4 \cdot x_2^{-0,6}-\lambda \)

Da bekomme ich \(  x_2=8^{0,1} \cdot x_1 \)

und das könnte man ja dann einsetzen

bei \(  \frac{dL}{dx_2}=0 \) und bei \(  \frac{dL}{d\lambda}=0 \)

und so \(  x_1\)  und λ berechnen.

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