Ich schreibe dir den Beweis, wie er in etwa aussehen könnte, mal hin. Vielleicht hilft dir das zusätzlich für das Verständnis:
Sei f : R→R,x↦x3−x gegeben.
Sei weiter y∈R beliebig mit
x3−x=y.
Wir haben auf der linken Seite ein Polynom dritten Grades stehen. Es werden also negative sowie positive y-Werte angenommen.
Deshalb gibt es für alle y∈R mindestens ein x∈R, sodass f(x)=y.
Das ist aber gerade die Definition von Surjektivität, also folgt daraus, dass f surjektiv ist.