Hallo,
wenn \(B\in \text{O}(2)\setminus \text{SO}(2)\), dann ist B eine orthogonale \(2\times 2\)-Matrix mit Determinante \(-1\) und damit eine Spiegelmatrix (eventuell auch Drehspiegelung). Außerdem hat jede Matrix \(B\) als orthogonale Matrix die Eigenschaft, dass \(B^{-1}=B^T\).
\(B^2=E\) bedeutet, dass die Hintereinanderausführung der Matrix \(B\) auf einen Vektor \(\vec{x}\in \mathbb{R}^2\) nichts bewirkt. Man stelle sich hier die doppelte Spiegelung an einer der Achsen im \(\mathbb{R}^2\) vor. Man nennt diese Art von Matrizen auch involutorisch.
Kannst du mit den neuen Informationen einen Ansatz finden? Wenn nicht, melde dich nochmal.
Nachtrag:
\(\text{O}(n)=\{A\in \text{GL}_n(\mathbb{R}) : A^{-1}=A^T\}\) (Orthogonale Gruppe)
\(\text{SO}(n)=\{A\in \text{O}(n) : \det(A)=1\}\) (Spezielle Orthogonale Gruppe)
\( \text{GL}_n(\mathbb{R})\) "General Linear Group" (Menge aller nxn-Matrizen mit nichtverschwindender Determinante)
Beweis:
Aus der Eigenschaft, dass \(B^{-1}=B^T\) folgt, dass:$$\frac{1}{\color{red}{ad-bc}}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$$ Da überdies \(\det B=\color{red}{ad-bc}\color{black}=-1\) gelten muss, folgt, dass:$$\begin{pmatrix} -d & b \\ c & -a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases}a=-d \\ b=c\end{cases}\quad (*)$$ Und damit:$$B^2=\begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^2 \end{pmatrix}\overset{(*)}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}$$
