Wie zeige ich, dass ein Element B ∈ O(2)\SO(2) die Eigenschaft B² = E hat?

Question

Aufgabe:

Wie zeige ich, dass ein Element B ∈ O(2)\SO(2) die Eigenschaft B² = E hat?

Problem/Ansatz:

Ich weiß, was eine orthogonale Matrix ist, nämlich dass die senkrechten Skalarprodukte = 0 ergeben und dass alles normiert ist, aber ich hab nicht so ganz verstanden, was eine Orthogonale Gruppe O(n) sein soll. Wie soll ich mir alle reellen orthogonalen n*n Matrizen vorstellen? Und was ist SO?

Answer 1

Hallo,

wenn $B\in \text{O}(2)\setminus \text{SO}(2)$, dann ist B eine orthogonale $2\times 2$-Matrix mit Determinante $-1$ und damit eine Spiegelmatrix (eventuell auch Drehspiegelung). Außerdem hat jede Matrix $B$ als orthogonale Matrix die Eigenschaft, dass $B^{-1}=B^T$.

$B^2=E$ bedeutet, dass die Hintereinanderausführung der Matrix $B$ auf einen Vektor $\vec{x}\in \mathbb{R}^2$ nichts bewirkt. Man stelle sich hier die doppelte Spiegelung an einer der Achsen im $\mathbb{R}^2$ vor. Man nennt diese Art von Matrizen auch involutorisch.

Kannst du mit den neuen Informationen einen Ansatz finden? Wenn nicht, melde dich nochmal.

Nachtrag:

$\text{O}(n)=\{A\in \text{GL}_n(\mathbb{R}) : A^{-1}=A^T\}$ (Orthogonale Gruppe)

$\text{SO}(n)=\{A\in \text{O}(n) : \det(A)=1\}$ (Spezielle Orthogonale Gruppe)

$\text{GL}_n(\mathbb{R})$ "General Linear Group" (Menge aller nxn-Matrizen mit nichtverschwindender Determinante)

Beweis:

Aus der Eigenschaft, dass $B^{-1}=B^T$ folgt, dass:$$\frac{1}{\color{red}{ad-bc}}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$$ Da überdies $\det B=\color{red}{ad-bc}\color{black}=-1$ gelten muss, folgt, dass:$$\begin{pmatrix} -d & b \\ c & -a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases}a=-d \\ b=c\end{cases}\quad (*)$$ Und damit:$$B^2=\begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^2 \end{pmatrix}\overset{(*)}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}$$

Comments

Aaah, hab nicht gewusst, dass das eine Spiegelung sein soll. Wenn ein Vektor doppelt gespiegelt wird, ist er natürlich wieder an der selben Position wie vor der Spiegelung.
Kann ich also sagen, dass B² gleich einer Rotation (genannt A) um 0 Grad ist, was eine Multiplikation mit dem Einheitsvektor wäre?

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Ja, das wäre eine Erklärung. Hier ist aber ein algebraischer Beweis gefordert. Hier musst du mit den Eigenschaften orthogonaler Matrizen arbeiten.

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Hmm, hab jetzt
B² = B_phi*B_phi = A₀ = E

aufgebschrieben. Reicht das nicht?

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Was ist $B_{\varphi}$? Drehung um den Winkel $\varphi$?

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Habe die Antwort editiert.