Welches ist das inverse Element der Gruppe? G:= {(a,b)∈R²:a²+b²=1} (a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

Question

Zum Beweis, dass G abelsch ist, benötige ich das inverse Element. Irgendwie komme ich aber nicht darauf und hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Das neutrale Element e müsste (1,0) sein.

Gruppe G:= {(a,b)∈R²:a²+b²=1} (a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

Wenn ihr es schafft, mir einen Tipp zu geben, ohne direkt die Lösung zu verraten, wäre das natürlich super!

Answer 1

> Das neutrale Element e müsste (1,0) sein.

Das ist richtig. Um das inverse Element zu (a, b) zu bestimmen, bestimme c und d in Abhängigkeit von a und b in dem Gleichungssystem

        ac-bd = 1

        ad+bc = 0.

Comments

Das hab ich jetzt ausprobiert, aber irgendwie häng ich dennoch. Liegt vielleicht an der Uhrzeit, aber ich komm einfach nicht weiter.

Ich hab zunächst die zweite Gleichung mit c/d multipliziert und dann von der ersten abgezogen. Dann bin ich bei -bd+(bc²)/d=1

Aber ich bin nicht sicher, wie es weitergehen soll..

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> Ich hab zunächst die zweite Gleichung mit c/d multipliziert

c und d sind die Variablen, die du bestimmen musst. Ich vermute mal, in dem Gleichungssystem

        2c-3d = 1

        2d+3c = 0

würdest du auch nicht auf die Idee kommen, die zweite Gleichung mit c/d zu multiplizieren, sondern eher mit 3/2.